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1.3 公式法
第2课时
第一章 因式分解
数学湘教版八年级上册
1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想.
2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式.
3.经历通过整式乘法公式(x±y)2=x2±2xy+y2的逆向变形得出完全平方公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.
4.通过对完全平方公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力.
重点
难点
你学过哪些因式分解的方法？
提公因式法：
mx+my+mz=m(x+y+z)
平方差公式法：
x2-y2=(x+y)(x-y)
你会运用这些方法吗？
把下列各式分解因式:
解：原式=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).
解：原式=(x2+9)(x2-9)=(x2 +9)(x+3)(x-3).
(1) ax4-ax2;
(2) x4-81.
注意
①有公因式的需先提公因式，再用平方差公式法进行因式分解；
②因式分解要彻底!
x2+2xy+y2=(x+y)2
(x+y)2=x2+2xy+y2
计算下列各式:
(1)(x+2)2=__________，
(2)(3x+1)2=_________．
根据上面算式填空:
(1) x2+4x+4=_________，
(2)9x2+6x+1=________．
你有什么发现呢？
x2+4x+4
9x2+6x+1
(x+2)2
(3x+1)2
整式乘法
因式分解
x2-2xy+y2=(x-y)2
(x-y)2=x2-2xy+y2
计算下列各式:
(3)(x-3)2=__________，
(4)(2x-1)2=_________．
根据上面算式填空:
(3)x2-6x+9=_________，
(4)4x2-4x+1=________．
你又有什么发现呢？
x2-6x+9
4x2-4x+1
(x-3)2
(2x-1)2
整式乘法
因式分解
x -2xy+y =(x-y)
请说出完全平方公式.
(x-y) =x -2xy+y
整式乘法
因式分解
完全平方式1
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
x +2xy+y =(x+y)
(x+y) =x +2xy+y
整式乘法
因式分解
完全平方式2
完全平方公式有什么特点？
x ±2xy+y =(x±y)
(1)是三项式(或可以看成三项)；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间是这两个数或式的积的±2倍.
观察下面的拼图过程及面积，验证完全平方公式是否正确？
_________ = __________
x2+2xy+y2
(x+y)2
正确
x
x
y
y
x
y
x
y
y
x
x y
你能验证完全平方差公式吗？
完全平方公式中的x，y，是否可以用任意的数或任意多项式代入呢？
可以，如前面的(x+2) ，就是将y用2代入得到等式：
(x+2) =
x +4x+4
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x +4x+4因式分解：
x +4x+4=(x+2)
解：9x -6x+1
=(3x) -2·3x·1+1
=(3x-1) .
例1 把多项式9x -6x+1因式分解.
分析：由9x =(3x) , 1=1 ，2·3x·1=6x，因此9x -6x+1符合完全平方公式2右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式2，就可把9x -6x+1因式分解.
注意
完全平方公式中的x、y，分别用3x和1代入.
教材
例题
与同学交流，具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式
★符合完全平方公式的形式的多项式才能用完全平方公式进行因式分解，即能写成：x2±2·x·y+y2的形式.
(首平方，尾平方，首尾两倍在中央.)
解：(1)-4x2+12xy-9y2
=-(4x2-12xy+9y2)
=-[(2x) -2·2x·3y+(3y) ]
=-(2x-3y) .
例2 把下列多项式因式分解：
(1) -4x2+12xy-9y2; (2) x5+2x3y+xy2.
注意
利用添括号法则时，括号里每一项均需变号！
分析：(1)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(4x2-12xy+9y2)，然后再利用完全平方公式2分解因式.
教材
例题
解：(2) x5+2x3y+xy2
=x(x4+2x2y+y2)
=x[(x ) +2·x ·y+y ]
=x(x +y) .
例2 把下列多项式因式分解：
(1) -4x2+12xy-9y2; (2) x5+2x3y+xy2.
注意
分解因式前应先分析多项式的特点，有公因式的需先提公因式，再用公式法进行因式分解．
分析：(2)有公因式x，先提出公因式，将其变形为x(x4+2x2y+y2)，然后再利用完全平方公式1分解因式.
教材
例题
例3 把多项式x4-2x2+1因式分解.
分析：由x4=(x ) , 1=1 ，2·x ·1=2x ，于是从右到左使用完全平方公式2，就有x4-2x +1=(x -1) ，再利用平方差公式将x -1因式分解即可.
解： x4-2x2+1
=(x ) -2·x ·1+1
=(x -1)
=[(x+1)(x-1)]
=(x+1) (x-1)
注意
在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
教材
例题
例3 把多项式x4-2x2+1因式分解.
分析：由x4=(x ) ，1=1 ，2·x ·1=2x ，于是从右到左使用完全平方公式2，就有x4-2x +1=(x -1) ，再利用平方差公式将x -1因式分解即可.
解： x4-2x2+1=(x ) -2·x ·1+1 =(x -1)
=[(x+1)(x-1)] =(x+1) (x-1)
注意
在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
教材
例题
注意
完全平方公式中的x，y可以用多项式来代入.
可以利用完全平方公式把多项式(x+y)2 4(x+y)+4因式分解吗？
分析：将x+y看作一个整体，再运用完全平方公式2进行因式分解.
解： (x+y)2 4(x+y)+4
=(x+y)2-2·(x+y)·2+2
=(x+y-2)
多项式因式分解的一般步骤是什么？
①如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
②如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)；
③如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后再进行分解；
④因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
遵循“一提、二套、三检查”的原则
能运用提公因式法或公式法把多项式x +5x+6因式分解吗
分析：由于x +5x+6不符合提公因式法和公式法的特征，因而不能直接运用这两种方法进行因式分解.但是(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,因而x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
你能找到这个式子中的p和q吗？
常数项6=2×3，一次项系数5=2+3，根据x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)可知x +5x+6=(x+2)(x+3).
有没有更简单方便的方法帮我们快速找到p和q的值呢？
像这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.
x +5x+6
1
2
1
3
1×2+1×3=5
(x+2)
(x+3)
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
交叉相乘的和等于一次项系数
=(x+2)(x+3)
例4 把多项式x -5x+6因式分解.
分析：
1
-2
1
-3
1×(-2)+1×(-3)=-5
解： x2-5x+6=
(x-2)
(x-3)
(x-2)(x-3).
注意
当常数项是正数时，可以分解成两个同号数的积，符号与一次项的符号相同.
教材
例题
一次项系数是负数
例5 把多项式10x +23x+12因式分解.
分析：
2
3
5
4
2×4+5×3=23
解：10x +23x+12=
(2x+3)
(5x+4)
(2x+3)(5x+4).
注意
二次项系数不为1时，可以分解成至少有1个不为1的两个数的积.
教材
例题
运用你所学的方法你可以把多项式x3-x2-x+1因式分解吗？
分析：x3-x2-x+1既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法，但若将其恰当分组，如分为x3-x2与-x+1两组，则x3-x2可进行因式分解，可先分解部分再寻找特征.
教材
例题
运用你所学的方法你可以把多项式x3-x2-x+1因式分解吗？
解：x3-x2-x+1=(x3-x2)-(x-1)
=x2(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x2-1)
=(x-1)(x-1)(x+1)
=(x-1) (x+1)
像这样，利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法.
教材
例题
先分组，针对各部分分别因式分解
提公因式法
平方差公式法
1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式 说明理由.
(1) x2-12xy+36y2; (2) x2-10xy-25;
教材
练习
x2-2·x·6y+(6y)2
x2-2·x·5y-52
两个平方项应都为正的
(3) 9x2y2-3xy+1; (4) -2xy-x2-y2.
(3xy)2 -3xy·1+12
中间项不是两数的2倍
-(2·x·y+x2+y2 )
2.把下列多项式因式分解:
(1) x2+2x+1; (2) x2+8x+16; (3) x2-10x+25;
解：(1) x2+2x+1=(x+1)
(2) x2+8x+16= x2+2·x·4+42=(x+4)
(3) x2-10x+25= x2-2·x·5+52=(x-5)
教材
练习
2.把下列多项式因式分解:
(4) 16y2-24y+9; (5) x4+2x2+1; (6) 3x4+6x3y+3x2y2.
解：(4) 16y2-24y+9=(4y)2-2·4y·3+32=(4y-3)
(5) x4+2x2+1=(x2)2 +2·x2·1+12=(x2+1)
(6) 3x4+6x3y+3x2y2=3x2(x2+2xy+y2)
= 3x2(x2+2·x·y+y2)
=3x2(x+y)
教材
练习
3.用简便方法计算:
(1)1002-2×100×99+99 ； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)1002-2×100×99+992 =(100-99)2=1
(2)342＋34×32＋162=342＋2×34×16+162=(34+16)2=2500
4.(1)已知a-b＝3，求a(a-2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2-2ab＋b2＝(a-b)2.
当a-b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
注意
先化简代数式，再将条件整体代入求解.
(1)x2-2x-15
解：(1)原式＝(x-5)(x+3)
1
-5
1
3
分析：
(2)3x2-10x+8
(2)原式＝(x-2)(3x-4)
1
-2
3
-4
5.用十字相乘法因式分解.
教材
练习
公式法
完全平方公式：
x ±2xy+y =(x±y)
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
一提：提公因式；
二套：平方差公式或完全平方公式；
三检查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
其他方法
十字相乘法、分组分解法
步骤
概念

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