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1.元素:一般把研究对象统称为元素，元素可为数、点、函数等.
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).
常用小写字母a, b, x, y, …表示.
常用大写字母A, B, R, Z, …表示.
3.元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A的元素 a___A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a___A a不属于集合A
∈

注：符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
数集 符号 含义
实数集 R 全体实数
自然数集 N 非负整数(含0)
正整数集 N*或N+ 大于0的整数(不含0)
整数集 Z 全体整数(正/负/0)
有理数集 Q 全体有理数(整数/分数)
Real number
Natural number
zhěng 德Zahlen
Quotient(商)
4.常用数集及其记法
Rational number
(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能判断它属不属于给定集合．
(2)任何两个对象都是不同的．
(2)互异性：一个给定集合中的元素互不相同, 即集合中的元素不重复出现.
(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分,可任意交换位置.
不能构成集合:
较小的数
接近2的数
视力好的人
{1,2,3,4}={4,2,3,1}
5.元素的特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.
构成两个集合的元素一样，就称两个集合相等.
6.判断对象能否构成集合的两个条件
观察：
(1)1~10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)方程 x2-3x+2=0 的所有实数根
[思考]上述例子都是用自然语言描述的集合，除此之外，你还可以用什么方式表示集合呢？
1.列举法:把所有元素一一列举出来,并用“,”隔开,用“{}”括起来
如：A={2,4,6,8,10}
适用于元素个数有限或无限但有规律的集合.
{1,2,3,…,1000}
N={0,1,2,3,…}
注意: ①“{}”表示“所有”的含义，不能省略;
②元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；
③书写时不需要考虑元素的顺序．
【解】方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1，2}．
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
注意:用列举法表示集合，应先明确集合中的元素是什么．
A＝{1，3，5，15}．
B＝{(3,2)}．
C＝{(1,4)}．
[思考](1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗
(2)你能用列举法表示下列集合吗？
①不等式 x-7<3的实数解集
②所有的正方形；
③到直线l的距离等于定长d的所有的点；
“10以内能被3整除的所有自然数”
满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
元素的共同特征
x∈R、x<10
2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为
如：数集{x∈Z | x<10}
点集{(x, y) | y=x+3, x, y∈R}
{x|x为三角形},不写为{x|x为所有三角形}
代表元素
共同特征
有时也用冒号或分号代替竖线，
写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}
描述法表示集合时的4个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)约定：若从上下文的关系看, x∈R, x∈Z是明确的,则可省略不写.
2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为
【解】被除数＝商×除数＋余数，此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
【解】{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
【解】{(x，y)|x＞0，y＞0}．
提示：偶数和奇数的共同特征是什么
偶数集：{x | x=2k,k∈Z}
奇数集：{x | x=2k+1,k∈Z}
有理数:整数+分数
【解】被除数＝商×除数＋余数，此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
【解】不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
【解】第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
描述法表示集合的2个步骤
▲认清代表元素：
A={x|y=x2+4}
B={y|y=x2+4}
C={(x,y)|y=x2+4}
代表元素
共同特征
[思考](1)A,B,C三个集合是否表示同一个集合？
不表示同一个集合
A=｛ x|y=x2+4｝表示的是y=x2+4中自变量的取值范围，
∴A=｛ y=x2+4｝=R
B={y|y=x2+4}表示的是y=x2+4中函数值的取值范围，
∴B={y|y=x2+4}=｛x|x≥4｝
C=｛(x,y)|y=x2+4｝表示的是y=x2+4图象上所有点.
▲认清代表元素：
A={x|y=x2+4}
B={y|y=x2+4}
C={(x,y)|y=x2+4}
(2)集合{x|x<3}与{t|t<3}是否表示同一个集合？集合{x|y=x2+4}与{y|y=x+3}呢？
{x|y=x2+4}={y|y=x+3}
{x|x<3}={t|t<3}
=R
{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(1)3和4的所有正的公倍数构成的集合；
(3)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
{x|x＝12n，n∈N*}．
(4)二次函数y＝x2 - 4的函数值组成的集合；
(6)如图中阴影部分的点(含边界)的集合．
高中求“解集”要写成集合的形式
集合的表示方法
1.自然语言
如：“小于6的所有正整数”
2.集合语言
①列举法：{_,_,_,_}，适用于元素有限个或无限个但有规律
②描述法：{x∈A | P(x)}或{(x,y) | P(x,y)}
偶数集{x∈Z|x=2k,k∈Z}
奇数集{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}
▲约定：若从上下文的关系看, x∈R, x∈Z是明确的,则可省略不写.
思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？
优点 缺点
列举法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示
描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素
列举法和描述法的优缺点：
(1)中国古代四大发明；
(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;
(3){2,4,6,8,10};
(4){x∈N∣3(5)A={x∣(x-1)(x+2)=0};
(6)B={x∈Z∣-3<2x-1<3}.
{造纸术、指南针、火药、印刷术}
{1,2,3,12,21,23,32,13,31,123,132,213,231,312,321}
{x|x=2k,1≤k≤5且k∈Z}
1~10之间的所有偶数
{x|x=2k,k=1,2,3,4,5}
{4,5,6}
{1,-2}
{x∈Z|-1={0,1}
二次项系数不确定时，
考虑为一次or二次方程
集合与方程的综合问题的解题步骤
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；
(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；
(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．
[练习6]定义集合A⊙B={(x+y,xy)│x∈A,y∈B}，其中集合 A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊙B中元素个数为 .
x y x+y xy
1 1 2 1
2 3 2
3 4 3
2 1 3 2
2 4 4
3 5 6
重复出现！
5

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