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1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
(1)分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.
(2)结构形式：“若p，则q”，“如果p，那么q”.
其中p称为命题的条件, q称为命题的结论.
（假）
（假）
（真）
（假）
有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句.
不是命题
a=2是偶数
(1)若x,y是无理数，则x + y是无理数.
(2)若x+y是有理数，则x, y都是有理数 .
(3)3 ≥3．
(4)若整数a是质数，则a是奇数.
(6)3能被2整除吗？
(7)x >15.
(5)求证 是无理数.
[例1]判断下列是否为命题，判定命题的真假：
注：开语句、疑问句、祈使句都不是命题.
(8)直角的补角是直角
(9)同旁内角互补
（真）
（假）
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(2)周长相等的两个三角形全等.
[例2]将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
若平面内的两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线互相平行.
若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形.
（真）
若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.
（假）
（真）
2.充分条件与必要条件
如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p?q.
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
命题真假
“若p，则q”真
推理关系
条件关系
例子
若x=2，则x2=4.(真)
若两个三角形周长相等，
则这两个三角形全等.(假)
“若p，则q”假
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
2.充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”真
推理关系
条件关系
例子
若x=2，则x2=4.(真)
若两个三角形周长相等，
则这两个三角形全等.(假)
“若p，则q”假
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件.
(3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q.
(5)q的充分条件是p.
“p?q”的几种不同说法：
[例3]下列“若p则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形;
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2=1.则x=1;
（5）若a=b.则ac=bc;
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.
▲p?q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[例3]下列“若p,则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形;
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
这是一条平行四边形的判定定理，p?q 所以p是q的充分条件.
这是一条相似三角形的判定定理，p?q所以p是q的充分条件.
这是一条菱形的性质定理，p?q 所以p是q的充分条件.
▲p?q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[例3]下列“若p,则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？
（4）若x2=1.则x=1;
（5）若a=b.则ac=bc;
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
由等式的性质知，p?q所以p是q的充分条件.
x=????，y=????为无理数，但????×????=???? 为有理数，p?q ，所以p不是q
的充分条件.
?
由于x2=1,则x=±1，p?q所以p不是q的充分条件.
▲p?q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[思考1]p:“四边形是平行四边形”; q:“四边形的两组对角分别相等”.
(1)p是q的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
充分性：条件p是充足的,足以保证结论q成立的,有p就有q,
但不意味着只有条件p可推出结论q,即条件不是唯一的.
数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
不唯一
[思考1]p:“四边形是平行四边形”; q:“四边形的两组对角分别相等”.
(2)q是p的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？
不唯一
必要性：必要就是必须的,必不可少的,但不是唯一的.
条件p可推出结论q，不意味着条件p只能推出结论q，
q是p的一个必要条件
p?q
原问题转化成：p是否只能推出q？
数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
通俗理解，充分条件是判定其为什么成立，
必要条件是指其能推出什么结论(性质)
[练习1]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a//b”的充分条件和必要条件.
[练习2]下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;
(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
是
不是
不是
[练习3]下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若ac＝bc，则a＝b；
(2)若xy为无理数，则x，y为无理数；
(3)若x是无理数，则x2也是无理数；
(4)若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的切线.
不是
不是
是
是
举反例是判断命题为假命题的重要方法.
充分、必要条件的判断方法
(1)定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，同时考虑反过来，若q成立时，能否推出p成立．


(2)集合法：常用集合的包含关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A?B，则甲是乙的必要条件．

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