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如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p q.
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
命题真假 “若p，则q”真
推理关系
条件关系
“若p，则q”假
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件.
(3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q.
(5)q的充分条件是p.
“p q”的几种不同说法：
举反例是判断命题为假命题的重要方法.
数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
通俗理解，充分条件是判定其为什么成立，
必要条件是指其能推出什么结论(性质)
1.逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“___________”，称这个命题为原命题的逆命题．
若q，则p
[例1](1)命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________________．
(2)命题“正三角形都相似”的逆命题是________________________．
答案：若x>0，则x>1
答案：若三角形相似，则这些三角形是正三角形
原命题：若三角形是正三角形，则这些三角形相似．
逆命题：若三角形相似，则这些三角形是正三角形．
[探究]如果p q，p是q的什么条件？q是p的什么条件
如果q p, p是q的什么条件？q是p的什么条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
若q p，则p是q的必要条件，q是p的充分条件.
若既有p q,又有q p,则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
p是q的充要条件,则q也是p的充要条件),
2.四种条件
条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系
x=1 x3=1 p是q的________________条件
x>2 x2>4 p是q的________________条件
ab=0 a=0 p是q的________________条件
|a|>|b| a>b p是q的_________________条件
充分必要(充要)
充分不必要
必要不充分
既不充分也不必要
(1)充要条件：若既有p q,又有q p,则称p是q的充要条件，记作p q.
(2)四种条件
充要条件：若既有p q,又有q p,则称p是q的充要条件，记作p q.
(1)p是q的充要条件：即“p成立则q一定成立；p不成立则q一定不成立”．
(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件．
充要
[例1]下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
[例1]下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
正方形对角线互相垂直且平分，pq;
对角线互相垂直且平分不一定是正方形qp.
所以p是q的充分不必要条件
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
相似则三边乘比例，pq；三边成比例一定相似，qp.
所以p是q的充要条件
（4）p：x或y是有理数，q：xy是有理数.
xy>0即x>0，y>0或x＜0，y＜0，pq，
x>0，y>0可以得到xy>0，qp；
所以p是q的必要不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件
[例1]下列各组命题中，p是q的什么条件？
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
[练习1]下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等;
(2)p：圆O内两条弦相等，q：圆O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集
(4)p：a∈P∩Q，q:a∈P
(5)p：a∈P∪Q，q:a∈P
两条弦相等 两条弦所对的圆周角相等或互补
p是q的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
(6)p：A B，q：A∪B＝B
p是q的充要条件
[练习2]“x2＋|y－2|＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x2＋|y－2|＝0，得x＝0且y＝2，所以x(y－2)＝0.
反之，由x(y－2)＝0，得x＝0或y＝2，x2＋|y－2|＝0不一定成立．故选B.
p
q
充要条件的证明策略
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.
思路一：证明要分两个环节:
(1)一证充分性：“条件” “结论”
(2)二证必要性：“结论” “条件”
思路二：在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
p
q
充分
P
Q
必要
P(Q)
Q
P
P(Q)
充要
“充小必大”：
充分条件范围小
必要条件范围大
①p是q的充分条件：
③p是q的充要条件：
④p是q的充分不必要条件：
⑤p是q的必要不充分条件：
已知p: x∈P，q: x∈Q，则p,q对应的集合满足“充小必大”
充分条件范围小
必要条件范围大
②p是q的必要条件：
P
Q
Q
P
小范围是大范围的充分不必要条件，
大范围是小范围的必要不充分条件.
√
[练习5](多选)下列式子：
①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x＜0.
其中，可以是－1＜x＜1的一个充分条件的序号为(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
解析：因为－1＜x＜1，所以②③④是－1＜x＜1的充分条件．
√
√
[练习6]“x2<9”的必要不充分条件是________．
析：即_____是“x2<9”的必要不充分条件．
析：即_____是“-3大
小
A.0C
[例4]设p：-2≤x≤10，q：1－m≤x≤1+m(m>0)．若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．
0或
[练习7]已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件？

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