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(共34张PPT)
在生活中，存在着大量相等关系和不等关系，例如大与小、长与短、高与矮、轻与重、不超过和不少于等等.
类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示.
1.用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的____________．含有这些不等号的式子叫做不等式．
不等关系
不等式a≥b读作“a大于或等于b”,其含义是指“a＞b或a＝b”:
等价于“a不小于b”；
等价于若“a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确”．
思考：常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤
≤
≤
≥
≥
[问题1] 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系：
v≤40 km/h
m≤10 t
(1)
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设三角形三边分别为，则
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，
C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
问题2:某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本. 据市场调查发现, 杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元
设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
万元，
≥20，求出不等式的解，即可求出定价
所以用不等式表示为：
单价涨了多少元
单价涨了多少个0.1元
销量少了多少个2000元
小结：用不等式表示实际问题中的不等关系
从实际问题中抽象出不等关系
用字母表示不等关系中的量
用不等号连接字母，建立不等式
利用不等式的性质，解不等式不等式
2．关于实数大小的基本事实
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么_______ a－b＞0 ______
如果a－b等于0，那么_______ a－b＝0 ______
如果a－b是负数，那么_______ a－b＜0 ______
a＞b
a＞b
a＝b
a＝b
a＜b
a＜b
作差法
3.比较实数大小(作差法)：
作差→变形(化为因式的积或平方和)→与0比较
>
[练习2]若，比较和的大小.
因为， 所以，
即 ，所以
法一
作商法
与“1”比较
法二
因为
作差法
与“0”比较
第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的.
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明.
大正方形的构成：
4个全等的直角三角形
1个小正方形
等面积法
思考：你能在这个图中找到哪些相等和不等关系？
Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明.
(面积关系)
a,b>0
大正方形面积
>4个直角三角形的面积和
大正方形面积
=4个等腰直角三角形的面积和
作差法
4
2
5.等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么_________；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么_________；
性质3　如果a＝b，那么____________；
性质4　如果a＝b，那么_________；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么____________．
b＝a
a＝c
a±c＝b±c
ac＝bc
(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．
(2)性质3，4，5反映了等式对四则运算不变性；运算中的不变性就是性质．
6.不等式的性质
性质1(对称性)：如果a>b,那么bb.即a>b b性质2(传递性)：如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b，b>c _____．
a>c
性质3(可加性)：如果a>b,那么a＋c>b＋c.
推论：a＋b>c _________．
a>c－b
这表明：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式另一边.
A
a
A1
a+c
B
b
B1
b+c
性质4(可乘性)：如果a>b,c>0,那么ac>bc；
如果a>b,c<0,那么_______．
性质5(同向可加性)：如果a>b,c>d,那么_______________．
aca＋c>b＋d
如:若x≥2, y≥3,则4x+y≥11.
可加性
传递性
注意乘数的符号
同向不等式相加,不等号方向不变;不能同向相减．
[思考]观察下列问题，思考两个不等式能够同向相减吗
3>2,1>-2,但3－1<2－(-2)
>
性质4(可乘性)：如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac性质5(同向可加性)：如果a>b,c>d,那么a＋c>b＋d．
[例3]已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
【解】因为－1【解】由－1关键：减化加
方法：待求的整体用已知的整体表示
性质6(同向可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么__________．
ac>bd
(不等式不可同向相除)
关键：除化乘
1.对称性
2.传递性
3.可加性
5.同向可加性
4.可乘性
6.同向可乘性(同号)
7.正数乘方性
8.正数开方性
证
[例5] 用不等号 “＞”或 “＜”填空：
(1) 如果a＞b＞０，c＜d＜０，那么ac　　bd；
(2)如果a＞b＞０，那么 ；
(3)如果a＞b＞c＞０，那么　　
＞
＜
＜
D
D
1.关于实数大小的基本事实：
2.比较实数大小:
(1)作差法：作差→变形(化为因式的积或平方和)→与0比较
(2)作商法：作商→变形(化为因式的积或商)→与1比较
(3)特殊值法：常用于小题证明不等式不成立.
(4)性质法
3.重要不等式：
可用于求最值
1.对称性
2.传递性
3.可加性
5.同向可加性
4.可乘性
6.同向可乘性(同号)
7.正数乘方性
8.正数开方性
证

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