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函数 y=f(x)的图象与x轴有交点
1.函数零点的定义:方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点.
注：(1)零点是数，不是点
(根的个数)
(零点个数)
(交点个数)
(2)方程 f(x)=0有实数根
函数 y=f(x)有零点
2.零点存在性定理:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根.
[思考]你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？
[思考]你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？
对于不能用代数运算求解的高次方程、对数方程、指数方程等，其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，我们通常只能求其近似解.
二分法：零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值.
[思考]方程近似解(或函数零点的近似值)的精确度与函数零点所在范围的大小有何关系
若知道零点在(2.50,2.53)内，我们就可以得到方程的一个精确到0.1的近似解2.50；
若知道零点在(2.515,2.516)内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解2.515，等等……
求方程近似解的问题(或函数零点的近似值)
不断缩小零点所在范围(或区间)的问题
区间精确度为ε：零点所在区间(a,b)满足|a-b|<ε
区间的一个端点
区间内任意一点
区间左端点 函数值f(a) 区间右端点 函数值f(b) 零点所在区间 零点近似值
(约定区间端点)
f(2)<0 f(3)>0
区间中点
函数值f(c)
f(2.5)<0
f(2.5)<0
f(3)>0
f(2.75)>0
f(2.5)<0
f(2.75)>0
f(2.625)>0
2.5
2.75
2.625
f(2.5)<0
f(2.625)>0
f(2.5625)>0
2.5625
零点
所在
范围
越来
越小
通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
区间精确度为ε：
零点x∈(2.5,3)
初始区间(2,3)
取区间中点2.5
计算f(2.5)
f(2.5)f(3)<0
|2.5-3|<
零点近似值为3
是
初始区间(2.5,3)
零点x∈(2.5,2.75)
取区间中点2.75
计算f(2.75)
f(2.5)f(2.75)<0
|2.5-2.75|<
零点近似值为2.75
是
否
[练习1]下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
C
只有满足以下两个条件，才可采用二分法求得零点近似值：
①在区间[a,b]上连续不断；
②f(a)·f(b)＜0.
即：有变号零点的函数才可用二分法求零点近似值.
[练习2]下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　)
AC
[练习4]用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4
析：由f(0.68)f(0.72)<0得函数的零点所在区间为(0.68,0.72)
B
[练习5]用二分法求方程2x+3x－7＝0在区间(1,3)内的实根,取区间中点x0＝2,则下一个有根区间是______.
(1,2)
析：令f(x)=2x+3x－7＝0，∵f(1)=﹣2<0，f(2)=3>0，
f(3)=10>0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)
[练习6]用二分法求f(x)＝x3－3的一个正零点(精确度0.01)．
解:由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见下表
区间 中点的值 中点函数近似值
0.375
(1,2)
1.5
(1,1.5)
1.25
－1.0469
(1.25,1.5)
1.375
－0.4004
(1.375,1.5)
1.4375
－0.0295
(1.4375,1.5)
1.46875
0.1684
(1.4375,1.46875)
1.453125
0.06838
(1.4375,1.453125)
1.4453125
0.0192
(1.4375,1.4453125)
1.44140625
－0.005259
从表中可知
|1.4453125－1.4375|
＝0.0078125
＜0.01，
所以函数f(x)的一个
正零点可取1.4375.
利用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的步骤
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε。
2.求区间(a,b)的中点c。
3.计算f(c)。
(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则零点x0∈(a,c)；
4.判断是否达到精确度ε。
若|a-b|<ε，则得到零点近似值；否则重复步骤2-4。
(3)若f(c)·f(b)<0，则零点x0∈(c,b)；

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