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二轮复习示例
空间的平行与垂直
一、教学目标：
1．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
3．提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。
二、教学重点：
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质，会利用上述知识论证和解决有关问题。
三、教学过程：
◆一轮回顾
1．已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题
①若a∥M，b∥M，则a∥b
②若a∥M，b⊥a，则b⊥M
③若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N
其中真命题的序号是______④_______.（将所有正确结论的序号都写上）
2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③四面体中最多可以有四个面是直角三角形；
④若mα且l⊥β， 且α∥β则ml
其中正确命题的是 ①③④ 。
3．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么① ；② 面；③ ；④ 、异面
其中正确结论的序号是__①②③___________.
4．在正方体中，为底面的中心，、、、分别为棱、、、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面_________（或或）.（截面以给定的字母表示，不必写出所有情况）
5．如图，四棱锥中，为正方形，底面，那么在该图中，互相垂直的平面有___________对.
6．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：
若，，则；
若，，则；
③若，，，则；
④若m、n是异面直线，，，，，则，
其中真命题是 ①和④
◆典型例题
例1．在棱长为的正方体中。
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求证：面；
（4）求证：面面；
（5）求三棱锥的体积。
例2．如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面
解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。
（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面
例3．（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。
（I）证明平面；
（II）证明平面OEF⊥平面
（II）设证明平面
证明：
（I）取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中， 又
则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。

又平面CDE，且平面CDE，
平面CDE。
（II）由（I）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形。
平面EFOM
而，平面
故，平面EFOM⊥平面即平面OEF⊥平面
（III）连结FM。
由（I）和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
垂直问题的转化：
面面垂直线面垂直线线垂直；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
例4．如图，在直四棱柱中，
已知，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面
，并说明理由．
解．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间想象能力、推理论证能力，本题属中等题。
◆小结：
1. 直线与平面的平行、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。
常用定理:①线面平行;;
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
2．立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

3．证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
④直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。
◆巩固练习
1．已知正方体中，点、分别为、的中点。
（1）求证：、、、四点共面；
（2）证明多面体是棱台。
2．如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。
3．已知侧棱垂直于底面的三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
5．如图，四棱锥中，侧面为正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，，为的中点，求证：
（1）；
（2）面面。

6．如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；（2）求证：平面．
（3）能否在面内找一点G，使AF若能，请找出所有可能的位置并证明，若不能，请说明理由。
（1）证明：侧面，
侧面，，
在中，，则有，
，，
又平面．
（2）证明：连、，连交于，
，，四边形是平行四边形，

又平面，平面，
平面．
（3）点G所有可能的位置为中点G与点C的连线段。
证明略
课件24张PPT。高三数学二轮复习建议
立体几何南京师大附中 张士民 立体几何是高中数学的重要内容
它是历年高考重点考查的内容
也是高三数学复习的重点之一
◆必考.主要承载着对空间想象能力的考查。
◆好得分.难度中等偏下，分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数。
一、新课标、考试说明相关内容的解读
二、近三年高考试题的分析
三、目前学生存在的问题
四、二轮复习建议 一、新课标、考试说明相关内容的解读
1．江苏省普通高中数学课程标准教学要求
通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。
01 江苏省普通高中数学课程标准教学要求.doc2．2010江苏高考数学科考试说明
空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.
　02 2010江苏高考数学科考试说明.doc 二、近三年高考试题的分析
1．命题特点
06年是“一小两大”，33分，占全卷的22%（其中一题是以立几为背景的应用题），
07年恢复为“一小一大”共17分，占11.3%。这与立体几何所占的学时比例（36/324）基本相当。
08后,随着江苏高考改革的不断推进，高考数学试卷的结构发生了变化(分值、题型).
08年江苏卷只考查了1道解答题（另外在理科附加题中也考查了1道解答题）．
09年又改为“两小一大”，24分，严格来说是“一小一大”（其中一题是以立几为背景考查推理方法）.
03 08,09年江苏卷.doc
由此可见，江苏卷一般是 “一小一大”，大题一般两小问. 小题以考查空间概念、空间想象能力、点、线、面的位置关系为主。大题一般有二问，以考查位置关系的证明，考查平行与垂直，通常为容易题、中等题。小题，中上难度的题也时有出现。
立体几何在高考中的占分比重，已随新课程内容的变化有所下降，考查难度也随之减弱． 2．趋势
以多面体为载体考察线面位置关系，线线、线面、面面的平行与垂直问题估计仍是2010年高考立体几何考查的重点，题量“一小一大”，既考查多面体的概念和性质，又考查空间的线面关系的判定，也有可能考查简单的计算(长度、面积、体积)，难度是容易题，考探究题的可能性不大。
空间角或距离的计算理科加试则会考。 三、目前学生存在的问题
1．空间想象能力不足。
2．对定理的内涵认识不够，理解有偏差。如小题会考查对某一判定或性质的理解。
3．书写的规范性问题，“会而不对，对而不全”。逻辑关系混乱；无因果关系的推理；条件不足的推理；“三垂线定理”的书写问题；面与面垂直的书写。
4．缺少证明平行与垂直的常用的思考角度，思维程序不清。
5．定性的证明需用平几知识，如通过定量计算来论证的。
1．空间想象能力不足。
图形语言、文字语言、符号语言是立几的三种基本语言，三种语言的准确转换是立体几何的基本功. 文字语言、符号语言不能准确转化为图形，对图形的分析与解读能力欠缺。图形的信息不能准确解读，不能根据目标对图形进行分解组合，基本图形的认识不够，不能从空间图形中准确抽取需要的某一个平面图形来研究。
04 空间想象能力不足.doc
2．对定理的内涵认识不够，理解有偏差。如小题会考查对某一判定或性质的理解。 ?◆（09江苏. 12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.
?
四、二轮复习建议
1．复习规划
2. 内容宽度、厚度的把握
（1）依纲靠本，控制难度
（2）网络完备，主干突出
（3）理据充分，规范答题
（4）重视空间想象能力，识图画图
（5）总结提炼数学思想方法，培养基本的数学观念
（6）与推理与证明结合，平几基本图形的性质向空间的推广
3. 二轮复习对教学中还需注意
1．复习规划
立体几何二轮复习，建议两个专题，共四课时：
专题一：空间几何体（包括直观图，展开与折叠，表面积和体积）；
专题二：空间的平行与垂直（点、线、面之间的位置关系，线与线、线与面、面与面平行与垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程）
05 二轮复习示例-空间的平行与垂直.doc
2. 内容宽度、厚度的把握
（1）依纲靠本，控制难度.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。
我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不出偏题、怪题。
只考必修的内容,只有定性分析(位置关系)，无定量分析(求角和距离等)。
理科复习时可以涉及角和距离的问题.
在立体几何里，垂直是热点，中点常考，正方体是基本的模型。
坚持浅变，把握定义、公式、性质的多种等价表述和图形的位置变化
（1）依纲靠本，控制难度.
努力变化例题、习题，或条件的增减，或结论的多样，或解法的多样，或分解例题为若干个简单题，或与其他例习题组合为一道难度较大的题，却能够轻松的解决．
（2）网络完备，主干突出
立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，同时要抓主线攻重点.
平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心,对于这部分内容,二轮复习中还要强化，要舍得花时间.要精选例题，让学生从多角度思考与交流，把证平行或垂直的思路和角度讲透。
让学生体会以下两点：
06 网络完备，主干突出.doc例1. （06天津卷）如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形，
棱 ．
（Ⅰ ）证明:FO//平面CDE；
证平行一般思维程序是:先找 “面”,再找 “线”,然后通过
“转化”、“降维”解决．例1. 如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱 ．
（Ⅱ ）设 ,证明:EO⊥平面CDF．
连结FM，由（Ⅰ）和已知得，
CD⊥平面EOM,∴ CD⊥EO. 连结FM，由（Ⅰ）和已知得，
CD⊥平面EOM,∴ CD⊥EO.
在等边△CDE中, EM⊥ CD
且 .
∴四边形EFOM为菱形，
∴ EO⊥FM，
∴ EO⊥平面CDF.证垂直一般思维程序是:
先找 “线”,再找“面”,然
后通过“转化”、“降维”解决．（3）理据充分，规范答题
学生注意表述规范，推理严谨，理据充分，答题规范，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．
立体几何中规范表达的训练:让学生自己教自己。选几道典型题，让学生上黑板板演，请同学自己点评。强化用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论的习惯，要求每一个逻辑段要非常清楚。个别问题大的学生，可通过平时练习面批加以校正。几次模拟考试可发详细的评分标准，让学生自己对照，体会会做的题如何不失分，不会做的题多踩得分点。 有关三垂线定理问题，三垂线定理及其逆定理的本质就是线面垂直，可用线面垂直表达.
若直接用，需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直时，需说明“由三垂线定理得”.
立几中凡涉及平面几何的问题，一定严格按照初中平面几何的证明要求，不能跳步骤。
平行线分线段成比例，在空间证菱形时，仅证四边相等是不行，必须先证共面或平行四边形。
关注正方体、棱柱等有哪些可直接用而不须交代证明的性质。（4）重视空间想象能力，识图画图
高考能力立意，立几也是一个很好的载体。
①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；
②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；
③会析图——对图形进行必要的分解、组合；
④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。
07 重视空间想象能力，识图画图.doc（5）总结提炼数学思想方法，培养基本的数学观念
在解答问题时，往往需要定理之间的相互转化，这当中，一个定理的结论，常常又是后续定理的前提条件。在对问题的证明或计算时，一般需要将立体图形化归为平面图形，把新的问题情景纳入到原有的认知结构中去，用我们熟悉的平面几何知识或三角方法解答。
立体几何中，平面与空间图形间的变换（如把平面图形折叠、旋转成空间图形，把空间图形展开成平面图形，把空间图形切割、补形与换底等），要善于运用“转化”和“降维”的思想方法，通过点、线、面之间的平行与垂直关系，最终将问题归结到某个平面内，使问题容易解决。
空间问题代数化. 转化为空间向量的运算。
指导学生自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果. 08 总结提炼数学思想方法，培养基本的数学观念.doc
（6）与推理与证明结合(平几基本图形的性质向空间的推广),认识常见图形

09 与推理与证明结合, 认识常见图形.doc3. 二轮复习对教学中还需注意
◆指导学生多读题，读懂题，学会审题。
◆立足“三基”，基本知识要熟，基本方法要活，基本数学观念要有。
◆要坚持做到解每一题至少要有两个解题思路，并坚持让学生总结．这样不仅熟练基本知识，活用基本思想方法，而且树立了信心。
◆要取得好得成绩，树立与保持信心至关重要。
高考数学成绩公式：
高考数学成绩＝信心＋熟练基本知识＋活用思想方法＋基本规范。
?谢 谢！

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