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四川省部分高中 2026 届高三第一次联合质检考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一组数据的平均数是 2.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数据，则所
得新数据的平均数和方差分别是
A. 57.2，3.6 B. 57.2，56.4 C. 62.8，63.6 D. 62.8，3.6
2.已知复数 满足 = 1 + 2 ( 为虚数单位)，则| | =( )
A. 52 B. 5 C. 3 D.
3
2
3.已知集合 = 1,0,1,2 ， = | 2 < 1 < 1 ，则 ∩ =( )
A. 0,1 B. 1,0 C. 1,0,1 D. 0,1,2
4.若集合 = < 4 , = 1 ≥ 1 ，则 ∩ =( )
A. ∞,1 B. 0,1 C. ∞,0 ∪ 0,1 D. ∞,0 ∪ 1,4
5.在 sin 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = sin +sin ，则 =( )
A. π6 B.
π 2π π 2π
3 C. 3 D. 3或 3
6.抛物线 2 = 4 的焦点到准线的距离为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12 4
7.已知等差数列 的前 项和为 ，若 1013 = 1，则 2025 =( )
A. 1 B. 20252 C. 2025 D. 4050
8 π 1 π 3 .若 ， 为锐角，cos 4 + = 3，cos 4 + 2 = 3 ，则 cos 2 =( )
A. 33 B.
3 6 5 3
3 C. 9 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，
永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下 1尺，第二天截取剩下的一半后剩下 2尺，…，第五天截
取剩下的一半后剩下 5尺，则下列说法正确的是( )
A. 5 = 1 B. = 1 4 32 8
C. 3 4 =
1
16 D. 1 + 2 + 3 + 4 + =
31
5 32
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10.已知 ( )定义域为 ， ( ) = (2 )，且 ( ) = ( )，当 ∈ (0,1]时， ( ) = .则下列说法正确的
有( )
A.直线 = 5 是 ( )的对称轴
B. ( )在[ 2025, 2023]上单调递减
C. (0) + (1) + + (2025) = 1
D. 1 1设 = 2025 与 ( )图象的第 个交点为 , ( ∈ )，若 = ( )与 = 2025 的图象有 个交点，则
1+ 2+ +
= 0
11.“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量的线性运算和数量积外常
见的还有向量的外积．定义如下，空间向量 与 的外积 × 是一个向量，其长度等于| × | = | || |sin , ，
其方向满足 ⊥ × ， ⊥ × ，且 ， ， × 三个向量构成右手系(如图).在棱长为 2 的正四面体
中， 为 的中心，下列结论正确的有( )
A. 1 = × B. × = 2 ×

C. × = × D. × = 3 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2,3)， = ( , 2)，若 ⊥ ，则 = ．
13.若函数 ( )在 R 上可导， ( ) = 2 ′ e + ln ，则 ′ e = ．
14.如图，在直三棱柱 1 1 1中，点 为棱 1 1上的点.且 1//平面 1 ，

则 1 = ，已知 = =
5
1 = 1， = 2，以 为球心，以 为半径的1 2
球面与侧面 1 1 的交线长度为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
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(2)将函数 ( ) π的图象向左平移3个单位长度，得到函数 ( ) ( )
π , 7π的图象，求 在 6 8 上的值域．
16.(本小题 12 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的离心率 =
1 3
2，且椭圆过点 1, 2 ．
(1)求 的方程：
(2)过点 0,1 直线 与椭圆有两个交点 ， ，已知 轴上点 0,3 ，求证： + = 0．
17.(本小题 12 分)
已知点 是边长为 2 的菱形 所在平面外一点，且点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，已知
∠ = 60 ， 是等边三角形．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的平面角的正切值；
(3)若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线 与平面 所成的角最大 求出最大角的正弦值，
并说明点 此时所在的位置．
18.(本小题 12 分)
设函数 ( ) = ln 2 1 +1 ，且 ( ) > 0, ( ) = ln( + )
2
( )+ ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ( ) = ( )，且 > > ，求证： + + > 0．
19.(本小题 12 分)
设 是项数为 ≥ 3, ∈ N 且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列 称为 的“
( 1)
等比关联数列”：①数列 的项数为 2 ≥ 3, ∈ N
；② 中任意两项乘积都是 中的项；
③ 是公比大于 1 的等比数列．
(1)已知数列 是 的“3 等比关联数列”，且 1 = 1， 2 = 2， 3 = 4，求数列 的通项公式；
(2)已知数列 是 的“4 等比关联数列”，且 的前 3 项成等比数列的概率为 ，求 的值；
(3)证明： 不存在“5 等比关联数列” ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13. 1e
14.1 ； 3
15.(1)解： ( ) = 3sin2 cos2 1 = 2sin 2 π6 1，
π π 3π π
由2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π( ∈ Z)得3 + π ≤ ≤
5π
6 + π，
∴ ( ) π 5π的单调减区间为 3 + π, 6 + π ( ∈ Z)；
(2) π由题意得 ( ) = + 3 = 2sin 2 +
π
3
π
6 ) 1 = 2cos2 1，
∵ π6 ≤ ≤
7π π 7π
8，∴ 3 ≤ 2 ≤ 4，
∴ 3 ≤ 2cos2 1 ≤ 2 1，
∴ ( ) π在 6 ,
7π
8 上的值域为 3, 2 1 ．
2 2 2 2
16.解：(1) 1 1由椭圆 ： 2 + 2 = 1 的离心率 = ，得
2
2 = 2 =
2 2
4，则 4 = 3 ，
由椭圆 过点(1, 3 ) 1，得 + 9 = 1，解得 22 2 4 2 = 4,
2 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
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(2)依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程 ： = + 1，
2 2
4 + 3 = 1由 消去 ，得(3 + 4 2) 2 + 8 8 = 0，
= + 1
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
8 8
则 1 + 2 = 3+4 2， 1 2 = 3+4 2，
+ = 1 3 + 2 3 = ( 1+1) 3 + ( +1) 3 2 所以 2 = 1 + 2 2 1 2 1 2 1 2
8
= 2 2( 1 1 + ) = 2 2
1+ 2 3+4 2
= 2 2 8 = 2 2
8
1 2 1 2 8
= 0．
3+4 2
17.(1)因为点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)
如图，过 在平面 内作 ⊥ 于 ，连接 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
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又 平面 ，所以 ⊥ ，故∠ 为二面角 的平面角，
3
因菱形 中，∠ = 60 ，则 = 2， = 2 × 2 = 3，
又 3是等边三角形，故 = 2 × 2 = 3，
1由 = 2 =
1
2 ，知 =
= 3×1 = 3 2 2 ，
在 Rt 中，tan∠ = = 2，故二面角 的正切值为 2．
(3)因为 // ，且 平面 , 平面 ，所以 //平面 ，
所以 到平面 的距离即为 到平面 的距离 ，
1 1
因为 = ，所以3 = 3 ，
即 = sin60 ，
3×2× 3
= sin60° = 2 = 2 15所以 5 ， 2+ 2 3+34
π 2 15
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ∈ [0, 2 ]，sin = = 5 ，
因正弦函数在第一象限单调递增，故要使 sin 最大，即使 最大，则需使 最小，
此时 ⊥ ，由对称性知， = = ( 3)2 + ( 3 )2 = 152 2 ，
所以 = 2 2 = 4 154 =
1
2 =
1
4
2 15 4
，此时 sin = 5 = 5，
1 4
故当点 在线段 上靠近 点的4处时，直线 与平面 所成的角最大，且最大角的正弦值为5．
18.(1) 1函数 ( ) = ln 2 +1 的定义域为(0, + ∞)，
2
因为 ′( ) = 1 4 ( 1) ( +1)2 = ( +1)2 ≥ 0，
故 ( )在(0, + ∞)内单调递增，
由 ( ) > 0 = (1)，可知 ∈ (1, + ∞)．
(2)因为 ( ) = ( )，所以 ln( + ) 2 2 ( )+ = ln( + ) ( )+ ，
即 ln( + ) ln( + ) = 2( ) ( )+ ，
ln + = 2( )即 + ( )+ ，
由(1)可知对任意 ∈ (1, + ∞) ln 2 1，有 +1 > 0
1
，即 ln > 2 +1 ，
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+
因为 + > + > 0，所以 + > 1，
+
+ 1
令 = + > 1，则有 ln
+ > 2 + + + ，
+ +1
ln + 即 + > 2 + +2 ，
则 ln + 2( ) 2( ) + = ( )+ > + +2 ，
1 1
即 ( )+ > + +2 > 0，
即 + + 2 > ( ) + ,
故 + + > ( ) > 0．
19.(1)因为 1 = 1， 2 = 2， 3 = 4，
由定义可知， 1 = 2, 2 = 4, 3 = 8，
故数列 的通项公式为 = 2 ( = 1,2,3)；
(2) 4×3因为 中 4 项均不相同，所以 4 有A4 = 24 种， 有 2 = 6 项，
假设 1 < 2 < 3 < 4，则 1 = 1 2， 2 = 1 3， 5 = 2 4， 6 = 3 4．
设 的公比为 ( > 1)

，则 = 1 3 3 4 3 1
=
2
=
2 4
，
2
又数列 的第三项 3 = 1 4，第四项 4 = 2 3，
或第三项 3 = 2 3，第四项 4 = 1 4，
所以 33 = 2 = 1 3 = 1 4，2
且 4 = 3 = 1
3
4 = 2
2 2
3，得 3 = 2 4，且 2 = 1 4，
2

或 33 = 2 = 1 3 = 2 3，2
且 4 = 3 = 2
3 2
3 = 1 4，得 2 = 1 3，且
2
3 = 1 4，
2
这两种情况，不能同时成立，使得 的前 3 项为等比数列有 4 种情况，
故 = 4 124 = 6．
(3) = 5 5×4当 时，假设 的各项从小到大排列，此时数列 有 2 = 10 项，
则 1 = 1 2， 2 = 1 3， 9 = 3 5， 10 = 4 5，
因为 2 是等比数列，所以 1 10 = 2 9，即 1 2 4 5 = 1 3 3 5，所以 2 4 = 3．
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设 的公比为 ( > 1)，则 =
1 3 = 4 5 ，所以 =
3 = 4
1 2 3 5
，
2 3
所以 3 = 2 =
4
1 3 =

1 4， 8 = 9 = 3 25 × = 2 5，
3 3
剩余四项为 1 5， 2 3， 2 4， 3 4，
又公比 = 3 = 4 ，所以 2 3， 2 4， 3 4是连续三项，因此 1 5是第 4 项或第 7 项，2 3
当 4 = 1 5时， 1 5 = 3 = 1 ×
3
4 ，所以 2 5 = 4 3，即 8 = 7，不符合题意；2
当 7 =

1 5时， 1 5 = 8 3 = 2 5 × ，所以 1 4 = 2 3，即 3 = 5，不符合题意；4
因此当 = 5 时， 不存在“5 等比关联数列” ．
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