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数学冀教版八年级上册
前面我们学习了三角形的有关概念和性质.在现实生活中，我们常常看到形状和大小完全相同的图形，本章我们将以三角形为例，探究具有这样特征的两个图形之间的关系.
A
B
C
D
在本章中，我们将通过动手操作、提出猜想、
验证结论的学习方式，学习命题与证明的有关知识、
全等三角形的概念和性质、全等三角形的基本事实
和判定定理、三角形的尺规作图.
通过本章的学习，我们将经历几何证明的过程，理解三个基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，形成初步的推理能力和言之有据的科学精神.
1.理解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，并会识别互逆命题，会判定一个定理是否存在逆定理.
2.了解证明的含义，通过具体例子掌握证明的步骤和书写的格式，并能运用基本事实和相关定理进行简单的证明，培养推理的能力.
3.通过合作探究等活动，获取正确的数学推理方法，体会数学的严谨性，并培养与他人合作的意识.
重点
难点
能够进行肯定或否定判断的语句，叫作命题.
下列语句哪些是命题，哪些不是命题
(1)两点之间，线段最短.
(2)如果AC=BC，那么点C 是线段AB 的中点.
(3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢
一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的.命题常写成“如果……那么……”的形式.“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.如果对于条件和结论不明显的命题，可以先改成“如果……那么……”的形式.
指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角.
(2)绝对值等于5的数一定是5.
解：(1)条件：两个角的和等于180°，结论：这两个角互为补角.
(2)条件：一个数的绝对值等于5，结论：这个数一定是5.
指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角.
(2)绝对值等于5的数一定是5.
2个命题都是真命题吗？
把正确的命题叫做真命题，把不正确的命题叫做假命题.
我们一起来探究吧
真命题
假命题
要判断一个命题是假命题，只要举出反例即可.
要判断一个命题是真命题，该如何判断呢？
活动一：探究逆命题
在下面两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？
两条直线被第三条直线所截，
如果这两条直线平行，那么同位角相等.
两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行.
条件
结论
结论
条件
在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，是另一个命题的结论和条件.
活动一：探究逆命题
请再举例说明两个具有这种关系的命题.
互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意一个为原命题，另一个为其逆命题.
注意
一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.
在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
活动一：探究逆命题
活动一：探究逆命题
请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性.
(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
解：(1)逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等.
原命题和逆命题都是真命题.
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
活动一：探究逆命题
(4)逆命题：已知两数a、b，如果a-b＞0，那么a+b＞0.
原命题和逆命题都是假命题.
解：(3)逆命题：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除.
原命题是假命题，逆命题是真命题.
请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性.
(3)如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除.
(4)已知两数a、b，如果a+b＞0，那么a-b＞0.
原命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题；反之，逆命题是真命题时，它的原命题不一定是真命题.
如何判断这一个命题是真命题呢？
活动二：探究证明
命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题吗？
要判断一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理，这种推理的过程叫作证明.
是
证明
活动二：探究证明
条件：两条直线平行于第三条直线
结论：这两条直线平行.
你能根据命题的条件画出相应的图形吗 ？
a
c
b
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
这个命题的条件是什么？结论是什么？
你能根据命题的条件、结论，结合图形，
写出已知、求证吗？
a
c
b
活动二：探究证明
2
3
1
d
已知：如图，直线a，b，c，a∥c， b∥c.
求证：a∥b.
证明：作直线d，分别与直线a，b，c相交，如图.
∵a∥c(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
∵b∥c(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等).
∴∠1＝∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)，
即平行于同一条直线的两条直线平行.
证明中的每一步推理都要
有根据，不能“想当然”.
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
活动二：探究证明
证明用文字叙述的命题是真命题的一般步骤:
(1)依据题意画出图形，将文字语言转化为符号（或图形）语言；
(2)根据图形写出已知和求证；
(3)根据基本事实、已有定理、性质、定义等进行证明.
活动三：探究逆定理
定理是命题，而命题不一定是定理.
定理与命题有什么关系？
定理的逆命题一定是定理吗？
不一定.因为定理的逆命题不一定是真命题.
活动三：探究逆定理
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.
1.互逆定理都是真命题.
2.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理.
3.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆
定理.
注意
下面的定理是否存在逆定理？
(1)所有直角都相等；
(2)两直线平行，同旁内角互补 .
解：(1)逆命题：所有相等的角都是直角.
因为这个逆命题是假命题，所以(1)不存在逆定理 .
经典例题
(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.
因为逆命题是真命题，所以(2)存在逆定理 .
判断一个定理是否有逆定理的方法：
原定理
写出逆命题
真
假
无逆定理
逆定理
判断真假
已知：如图，点O在直线AB上，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线.求证：OD⊥OE.
经典例题
解：逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形三个内角的度数之比为1:2:3.
经典例题
反例：一个直角三角形三个内角的度数分别为45°，45°，90°，但这个三角形三个内角的度数之比是1:1:2，不是1:2:3.
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，
请举出反例，对于真命题，请给出证明.
(1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，那么这个三角
形是直角三角形；
假命题
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，
请举出反例，对于真命题，请给出证明.
(2)直角三角形的两个锐角互余；
经典例题
解：逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°－∠A－∠B.
∵∠A＋∠B=90°，
∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形.
真命题
解：逆命题：对于任意两个数a，b，如果-3a>-3b，那么a>b.
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，
请举出反例，对于真命题，请给出证明.
(3)对于任意两个数a，b，如果a>b，那么-3a>-3b.
经典例题
假命题
1.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明.
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
教材
练习
反例：∠1=∠2=30°，两个角相等，但不是直角.
假命题
1.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明.
(2)已知两个角.如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角.
解：逆命题：已知两个角.如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角.
教材
练习
反例：∠1=∠2=90°，它们的和是平角，但∠1和∠2都是直角.
假命题
证明：设整数a能被2整除，则整数a一定能写成2n(n为整数)的形式.
因为2n是偶数，
所以整数a是偶数，即能被2整除的数一定是偶数.
1.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明.
(3)偶数一定能被2整除.
解：逆命题：如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数.
教材
练习
真命题
2.已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补，求证：a//b.
证明：∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠1+∠2=180°（补角的定义）.
又∵∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换).
∴a//b(同旁内角互补，两直线平行).
教材
练习
a
c
b
2
1
3
3.证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图， a，b，c是同一平面内的三条直线，a⊥c ，b⊥c .
求证：a∥b.
证明：
a
b
1
2
c
4.已知：如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B，
求证： ∠C=∠D.
A
O
D
B
C
解：如图，已知∠DAF，∠CBE，∠BCF分别为△ABC的三个外角.
求证：∠DAF＋∠CBE＋∠BCF＝360°.
5.证明：命题“三角形的外角和等于 360°”是真命题．
证明：∵∠DAF＋∠BAC＝180°，∠CBE＋∠ABC＝180°，
∠BCF＋∠ACB＝180°，（平角的定义）
∴∠DAF＋∠BAC＋∠CBE＋∠ABC＋∠BCF＋∠ACB
＝180°×3＝540°（等式的性质）.
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAF＋∠CBE＋∠BCF＝540°－180°＝360°（等式的性质）.
真假命题
原命题与逆命题
原命题：若p，则q.
真命题：证明
命题与证明
证明的一般步骤
依据题意画出图形，将文字语言转化为符号（或图形）语言
根据图形写出已知和求证
根据基本事实、已有定理、性质、定义等进行证明
逆命题：若q，则p.
假命题：举出一个反例
逆定理与互逆定理
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.

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