资源简介

数列寒假培训讲座材料
一、高考考纲要求
(一)考试内容：
内 容
要 求
A
B
C
数列的概念
√
等差数列
√
等比数列
√
(二)考试要求：
数列各个知识点的具体考试要求是：
考点
要求
1
数列的概念
理解
2
数列通项公式的意义
了解
3
递推公式
了解
4
根据递推公式写出数列的前几项
掌握
5
等差数列的概念
理解
6
等差数列的通项公式
掌握
7
等差数列的前n项和公式
掌握
8
等比数列的概念
理解
9
等比数列的通项公式
掌握
10
等比数列的前n项和公式
掌握
11
运用公式解答简单的问题
灵活
（三）课程标准教学要求：
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
理解数列的通项公式的意义。
2．理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。
3．理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。
数列教学，要注意的问题：
（1）教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的基本数学模型。
（2）教学中，理解数列通项公式的三层意思：通项公式是数列的项与序号的对应关系；会由通项公式写出数列的前几项；会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。
（3）教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。
（4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。通过具体实例（教育贷款、购房贷款、分期付款、放射性物质的衰变、人口增长等）这样做，即突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。
（四）考纲示例
1．已知数列{an}的前n项的和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值是 ．
命题意图：考查数列的前n项和与其通项的关系，以及解简单不等式的等基础知识。（中等题）
2．(1)设a1，a2，…，an是各项均不为零的等差数列(n≥4)，且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n＝4时，求的数值②求n的所有可能值；
(2)求证：存在一个各项及公差均不为零的n(n≥4)项的等差数列，任意删去其中的k项(1≤k≤n－3)，都不能使剩下的项（按原来顺序）构成等比数列．
命题意图：以等差数列和等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力（难题）
五、近几年的江苏数列题看趋势
（2009江苏卷）设{an}是公差不为零的等差数列，为其前n项和，满足a +a= a+ a, S7=7.。
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项.
解：（1）an=2n－7,Sn=n2－6n.
(2) 符合题意的正整数只有m=2..
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和．
（1）若bk ＝am（m,k是大于2的正整数），求证：Sk－1＝(m－1) a1；（4分）
（2）若b3 ＝ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A，B为常数．
（1）求A与B的值；
（2）证明数列{an}为等差数列；
（3）证明不等式－＞1对任何正整数m，n都成立．
二、考查形式与特点
数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考查的重点和热点，在历年高考中占有比较重要的地位，考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法，主要测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，从题型上看有以下特点：
分析近两年高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的8%左右．从题型来看，有以下特点:
1．一般有两道题，一道客观题，一道主观题，有时会多一道题，有时会少一道题．在选择题或填空题中，突出了“小、巧、活”的特点，属中档题，要求学生掌握基本概念与基本技能．解答题主要以与函数、不等式、方程、几何等知识的综合为考查对象，属中等难度以上的试题，甚至是难题，多为压轴题．
2．探索性题型在近几年高考中也有所体现．解决探索性题型应具有较高的数学思维能力，有利于培养学生创新意识和创造精神，这正是“以能力立意”的命题原则的生动体现．
3．综合题型．几乎每年都有，因为综合题都是在知识的交汇点命题，具有较强的考察思维能力的功能，而数列恰好具有这个特点．
4．应用题型在近几年考查中明显增加．结合工业、科学、商业、环保等方面的应用题的解决，涉及到学生的读题、审题、抽象建模、数学知识的应用等多方面的能力．
5．等差、等比数列的通项公式、求和公式以及一些特殊性质的应用，基本上每年都有，多以选择、填空题的形式出现，突出“双基”的考查．
三．主要题型
（一）考查等差数列等比数列的基本量
1．已知数列{an}的前n项的和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值是 ．
2．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是 个
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3 S3成等差数列，则{an}的公比为 ．
4．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和是 ．
（二）考查数列中的归纳推理
5．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
6．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 ．
7．函数f(x)由下表定义：
x
1
2
3
4
5
f(x)
3
4
5
2
1
若a1＝2，a2＝5，an＋2＝f(an)，n∈N*，则a2008的值是___________．
（三）对等差数列等比数列的综合考查
1．背景是等差数列等比数列
8．如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an ，a2= an-1 ，…，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，…，n)，我们称其为“对称数列”．
(1)设｛bn｝是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出｛bn｝的每一项；
(2)设｛cn｝是项数为2k－1(正整数k>1)的“对称数列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首项为50，公差为－4的等差数列．记｛cn｝各项的和为S2k-1．当k为何值时，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；
(3)对于确定的正整数m>1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，…，2n-1依次是该数列中连续的项；当m>1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008．
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1≠b1，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，若对一切n∈N*，有Sn＋3＝Tn．
（1）分别写出一个符合条件的数列{an}和{bn}；
（2）若a1＋b1＝1，数列{cn}满足：cn＝4＋λ(－1)×2，且当n∈N*时，cn＋1≥cn恒成立，求实数λ的最大值．
10．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若首项a1＝，公差d＝1，求满足Sk＝(Sk)2的正整数k；
(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk＝(Sk)2成立．
2．背景是递推关系
11．已知数列{an}中，an＝2an－1＋n（n≥2，n∈N）．
（1）{an}是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；
（2）设bn＝(－1)n(an＋n＋2)，S＞n为数列{bn}的前n项和，且对于任意的n∈N*，n≤10，都有Sn＜99，求a1的取值范围
12．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
（1）求a2，a3的值；
（2）求证：数列{Sn＋2}是等比数列；
（3）抽去数列{an}中的第1项、第4项、第7项，…，第3n－2项，…，余下的项顺序不变，组成一个新数列{bn}，若{bn}的前n项和为Tn，求证：＜≤．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A，B为常数．
（1）求A与B的值；
（2）证明数列{an}为等差数列；
（3）证明不等式－＞1对任何正整数m，n都成立．
3．背景是函数或其它
14．幂函数y＝的图象上的点 Pn(tn2，tn)(n＝1，2，……)与x轴正半轴上的点Qn及原点O 构成一系列正△PnQn－1Qn(Q0与O重合)，记 an＝QnQn－1．
(1)求a1的值；
(2)求数列 {an} 的通项公式an；
(3)设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的实数(∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－() (3an－1) 恒成立，求k的最小值．
15．已知直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n＋2(n∈N*)交于不同点An，Bn,其中数列{an}满足：a1＝1，an+1＝|AnBn|2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋2)求数列{bn}的前n项和Sn．
（四）．数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
（1）数列与函数、几何
1.(2009年广东卷文)
已知点(1, )是函数f(x)=ax(a>0, a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n) －c,数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－S n－1=+(n≥2).
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{ }前n项和为Tn，问Tn> 的最小正整数n是多少? .
解（1）c=1
（2）Tn> 的最小正整数n是112。
2.(2009山东卷理) 等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b>0且b≠ 1b, r均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记bn =2(log2 an+1) (n∈N+) .
证明：对任意的n∈N+ ，不等式 · · …·> 成立
解:(1) r=－1,
(2) 用数学归纳法证明略
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
3.(2009山东卷文) 等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b>0且b≠ 1，（b, r均为常数）的图像上。
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记bn = n∈N+ 求数列{ bn }的前n项和Tn
解: （1） r=－1；
（2）利用错位法可求得：Tn= － 
4.（2009广东卷理） 已知曲线Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．从点P (－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)．
（1）求数列{ xn },{ yn }的通项公式；
（2）证明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
解：（1）xn=,yn=
(2) 证明：略
（2）数列与不等式
5.(2009山东卷理) 等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b>0且b≠ 1b, r均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记bn =2(log2 an+1) (n∈N+) .
证明：对任意的n∈N+ ，不等式 · · …·> 成立
解:(1) r=－1,
(2) 用数学归纳法证明略
6.（2009广东卷理）已知曲线Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．从点P (－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)．
（1）求数列{ xn },{ yn }的通项公式；
（2）证明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
3.(2009山东卷文) 等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n∈N+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b>0且b≠ 1，（b, r均为常数）的图像上。
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记bn = n∈N+ 求数列{ bn }的前n项和Tn
解: （1） r=－1；
（2）利用错位法可求得：Tn= － 
4.（2009广东卷理） 已知曲线Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．从点P (－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)．
（1）求数列{ xn },{ yn }的通项公式；
（2）证明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
解：（1）xn=,yn=
(2) 证明：略
9.(2009湖北卷理) 已知数列{an}的前n项和Sn=－an－()n－1+2（n为正整数）。
（Ⅰ）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= an, Tn= c1+c2+ … + cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。
解：（I）an=.
(II) 综上所述，当n=1,2 ,Tn< , 当n≥3时Tn> .
10.（2009湖南卷文）对于数列{un}若存在常数M＞0,对任意的(n∈N+)，恒有 | un+1 －un | +| un－un－1 | + … | u2－u1 |≤M,则称数列{un}为B－数列
（1）首项为1，公比为－的等比数列是否为B－数列？请说明理由;
（2）设Sn是数列{xn}的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{xn}是B－数列 ②数列{xn}不是B－数列
B组：③数列{Sn}是B－数列 ④数列{Sn}不是B－数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3） 若数列{an}是B－数列，证明：数列{ a }也是B－数列.
11.(2009陕西卷理) 已知数列{xn}满足， x1=, xn+1= (n∈N+).
(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
(Ⅱ)证明：| xn+1－ xn | ≤ ( ) n －1 .
12.（2009四川卷文）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(n∈N+)。
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Rn, 是否存在正整数k使得Rn≥4k成立，若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（3）记cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn<;
解：（1）an=(－)n bn= 
（2）不存在正整数k使得Rn≥4k成立。
（3）证明：略
13.（2009四川卷理）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(n∈N+)。
（I）求数列{bn}的通项公式；
（II）记cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn<;
（III）设数列{bn}的前n项和为Rn,已知正实数λ满足：对任意正整数n,Rn≤λn恒成立，求λ的最小值。
14.（2009重庆卷文）已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an, bn= ,n∈N+．
（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；.
（Ⅱ）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n;
（Ⅲ）求证：|b2n－bn|< ．
解：（Ⅰ）b1=4,b2=,b3=
（Ⅱ）证：略
（Ⅲ）证：略
（3）数列的探究性问题
15.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an =pn+q(n∈N+,P>0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥ m成立的所有 n中的最小值.
（Ⅰ）若p=, q=－，求b3；
（Ⅱ）若p=2, q=－1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）b3=7
（Ⅱ）b1+ b2+…+ b=m2+2m
（Ⅲ）存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)；
p和q的取值范围分别是p=,－ ≤q<－. .
16.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1=a, a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q
都有= 
（1）当a =, b =时，求通项an .
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有 ≤an ≤λ
解：（1）an =
(2) 取λ= ,  ≤an ≤λ,其中g(a)= 
17.（2009湖南卷文）对于数列{un}若存在常数M＞0,对任意的(n∈N+)，恒有 | un+1 －un | +| un－un－1 | + … | u2－u1 |≤M,则称数列{un}为B－数列
（1）首项为1，公比为－的等比数列是否为B－数列？请说明理由;
（2）设Sn是数列{xn}的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{xn}是B－数列 ②数列{xn}不是B－数列
B组：③数列{Sn}是B－数列 ④数列{Sn}不是B－数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3） 若数列{an}是B－数列，证明：数列{ a }也是B－数列.
解: （1）所以首项为1，公比为－的等比数列是B－数列 .
（2）命题1：若数列{xn}是B－数列，则数列{Sn}是B－数列.此命题为假命题.
命题2：若数列{Sn}是 B－数列，则数列{xn}是B－数列。此命题为真命题。
(3)若数列{an}是B－数列，则数列{ a }也是B－数列.。
18.（2009四川卷文）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(n∈N+)。
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Rn, 是否存在正整数k使得Rn≥4k成立，若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（3）记cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn<;
解：（1）an=(－)n bn= 
（2）不存在正整数k使得Rn≥4k成立。
（3）证明：略
19.（2009年上海卷理）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？请说明理由；
（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N+,bn= ,并说明理由；
（3）若a1=5,d=4, b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明。
解：（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak
（2）只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。
（3）证明: 略
20.（2009上海卷文）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？请说明理由；
（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bn+1 bn= bk，试求a、q满足的充要条件；
（3）若an=2n+1, bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和是数列中{an}的一项，请证明.
【解】（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak
（2）a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于－2的整数
(3) 证明: 略
四、复习教学建议：
数列复习过程中应关注的一些问题
1．基本量的选择与性质的灵活应用；
2．数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；
3．理解数列求和的本质与方法：
（1）分解成特殊数列的和
（2）裂项求和
（3）“错位相减”法求和
（4）倒序求和
4．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
5．数列应用题型，可与工业、科学、商业、环保等方面的具体问题相联系，注意培养学生的读题、审题、抽象建模、数学知识的应用等多方面的能力．
6．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．此类题有三个特点：（1）给出的数列是等差（等比数列），在此基础上研究新的数列的有关性质；（2）给出的数列不是等差（等比）数列，但构造的新数列是等差（等比）数列；（3）给出的递推关系中隐含的是等差（等比）关系。一般来说，此类题中有1~2问具有以下特点：（1）用到等差（等比）数列定义证明是等差（等比）数列；（2）求待定系数的值；（3）通过简化递推关系，得出是一个等差（等比）数列。
因此，在对此类题的复习中，要加强1~2问的训练，确保1~2问的得分率
7．数列容易错的几个问题：
等比数列求和对公比的讨论；
2．数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；an＝
3．关于等比中项的计算问题：例如若a、b、c成等比数列，则b2＝ac
b2＝ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件，而b＝是a、b、c成等比数列的既充分又不必要条件；
若a1，a2 ，a3成等比数列，求a2；与若a1，a3，a5成等比数列求a3；
8．关于数列的回归课本的问题
下面是对一题课本例题的探究
问题:已知Sn是等比数列的前n项的和,S3、S9、S6成等差数列,求证a2、a8、a5成等差数列.
问题1.Sn是等比数列的前n项的和，若k∈N＋ ，k≥2，S k、S3k、S2k成等差数列，则ak－1、a3k－1、a2k－1成等差数列。
问题2.Sn是等比数列的前n项的和，公比q≠1,若k∈N＋ ，k≥2,且ak－1、a3k－1、a2k－1成等差数列, Sk、S3k、S2k成等差数列。
问题3.这样你又能得到怎样的结论.
问题4.Sn是等比数列的前n项的和，公比q≠1,若k∈N＋ ,k≥2, Sk、S3k、S2k成等差数列的充要条件是ak－1、a3k－1、a2k－1。
问题5.你如何证明?.
二轮复习专题讲义
一、课前预习：
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5 a3，则 9 .
2.等差数列{an}前n项和为Sn。已知am+1+am－1 －a=0，S2m－1=38,则m=_10______.
3.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn =an+1 n∈N+，若数列{bn}有连续四项在集合{－54, －23,19,37,82}中，则6q= － 9 .
4.等比数列{an}的公比q>0, 已知=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=  .
二、例题精讲：
例1.已知点(1, )是函数f(x)=ax(a>0, a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n) －c,数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－S n－1=+
(n≥2)
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{ }前n项和为Tn，问Tn> 的最小正整数n是多少? .
解（1）c=1
（2）Tn> 的最小正整数n是112。
例2.设数列{an}的通项公式为an =pn+q(n∈N+,P>0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥ m成立的所有 n中的最小值.
（Ⅰ）若p=, q=－，求b3；
（Ⅱ）若p=2, q=－1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）b3=7
（Ⅱ）b1+ b2+…+ b=m2+2m
（Ⅲ）存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)；
p和q的取值范围分别是p=,－ ≤q<－. .
例3.已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？请说明理由；
（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bn+1 bn= bk，试求a、q满足的充要条件；
（3）若an=2n+1, bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和是数列中{an}的一项，请证明.
【解】（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak .
（2）a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于－2的整数.
(3) 证明: 略
例4. 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2＝(1＋cos2)an＋sin2，n＝1，2，3，…
(1)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn．证明：当n≥6时，|Sn－2|＜
例5. 幂函数y＝的图象上的点 Pn(tn2，tn)(n＝1，2，……)与x轴正半轴上的点Qn及原点O 构成一系列正△PnQn－1Qn(Q0与O重合)，记 an＝QnQn－1．
(1)求a1的值；
(2)求数列 {an} 的通项公式an；
(3)设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的实数(∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－() (3an－1) 恒成立，求k的最小值．
反馈练习：
1.已知数列{an}满足：a4n－3=1, a4n－1=0, a2n = an n∈N+则a2009= 1 . a2014= 0
2.设a1=2，an+1=，bn =||,，n∈N+，则数列{bn}的通项公式bn = 2n+1 ．
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3=5,则a4=  .
4. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是 个
5．(2009湖北卷理) 已知数列{an}的前n项和Sn=－an－()n－1+2（n为正整数）.
（Ⅰ）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= an, Tn= c1+c2+ … + cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。
解：（I）an=.
(II) 综上所述，当n=1,2 ,Tn< , 当n≥3时Tn> .
6．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
（1）求a2，a3的值；
（2）求证：数列{Sn＋2}是等比数列；
（3）抽去数列{an}中的第1项、第4项、第7项，…，第3n－2项，…，余下的项顺序不变，组成一个新数列{bn}，若{bn}的前n项和为Tn，求证：＜≤．
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1≠b1，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，若对一切n∈N*，有Sn＋3＝Tn．
（1）分别写出一个符合条件的数列{an}和{bn}；
（2）若a1＋b1＝1，数列{cn}满足：cn＝4＋λ(－1)×2，且当n∈N*时，cn＋1≥cn恒成立，求实数λ的最大值．
8．如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an ，a2= an-1 ，…，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，…，n)，我们称其为“对称数列”．
(1)设｛bn｝是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出｛bn｝的每一项；
(2)设｛cn｝是项数为2k－1(正整数k>1)的“对称数列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首项为50，公差为－4的等差数列．记｛cn｝各项的和为S2k-1．当k为何值时，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；
(3)对于确定的正整数m>1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，…，2n-1依次是该数列中连续的项；当m>1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008．
课件29张PPT。谢 谢 !

展开更多......

收起↑