资源简介

(共19张PPT)
15.1.2 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线的性质与判定
第十五章 轴对称
1.理解线段垂直平分线的性质和判定；
2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题；
3.简单了解关于命题和定理的相关内容.
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点A′处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AA′的中点外还有别的地方吗
A′
A
什么叫线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线.
N
M
P
A′
A
类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线L对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B…··都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：
A
B
l
C
P
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上．
求证：PA =PB．
证明：当点P与点C不重合时，
∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB = 90°．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
当点P与点C重合时，显然成立
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵ OA =OB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
l
O
P
如图，在△ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于_____．
A
B
C
D
E
8
【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
l
O
P
同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到猜想：
已知：如图，PA = PB．
求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCARt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
A
B
P
C
线段垂直平分线的判定：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
l
O
P
例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，
求证：AO⊥BC.
证明：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
又∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
即A，O均在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.
这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
如果一个点到线段两个端点的距离相等，
那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
如果一个点在这条线段的垂直平分线上，
那么这个点到线段两个端点的距离相等.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理，例如：关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理. “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
关系
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
判定
性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)
A．5 cm　　 B．10 cm　　
C．15 cm　　 D．17.5 cm
C
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
C
3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.
7.8
4. 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？
答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.
5.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D. 求证：OE垂直平分CD.
证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，
∴ED＝EC
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，
∴Rt△EDORt△ECO.（HL）
∴OD＝OC.
∴O，E都在CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD.

展开更多......

收起↑