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第十五章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
课时2 作轴对称图形的对称轴
1.能用尺规作已知线段的垂直平分线，轴对称图形的对称轴等；
2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据；
3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题.
A
B
l
O
P
【思考】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线呢？
轴对称的性质:
轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的判定:
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
公路

A

B
如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.
由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.

C
D
B

A
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
（2）作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线.
也可以用这种方法确定线段的中点
作法：如图所示：
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可.
公共汽车站
解决导入：如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
【思考】为什么以大于 AB的长为半径作弧？
以小于AB的长为半径，两弧无交点；
以等于AB的长为半径，不易操作.

C
D
B

A
【思考】有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗
A
B
C
C′
A′
B'
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.　
B
找出一对对称点A和B，连接AB，作出线段AB的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
l
类似地，请你尝试作出这个五角星的其他对称轴.
A
作对称轴的步骤：
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点；
②连：连接这对对称点；
③作：做出对称点所连线段的垂直平分线.
利用作线段的垂直平分线，还可以完成其他尺规作图.
例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可.
A
B
C
例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和E．
（2）分别以点D和E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（3）作直线CF．直线CF 就是所求作的垂线．
A
B
C
D
E
F
由（1）可知，点C在线段 DE的垂直平分线上，因而再作出与D，E距离相等的另一点F，就能得到线段DE的垂直平分线.
如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线
D
线段的垂直
平分线的
有关作图
尺规作图
作对称轴的常见方法
作已知线段的垂直平分线；作轴对称图形的对称轴；过一点作已知直线的垂线。.
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点；
②连：连接这对对称点；
③作：做出对称点所连线段的垂直平分线.
1.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（　　）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
D
2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
D
3.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
4.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
5.如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．

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