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2.1 课时1 算术平方根
第二章 实数的初步认识
1.了解数的算术平方根的概念，知道????表示非负数a的算术平方根；
2.理解算术平方根的双重非负性,会求一个非负数的算术平方根.
?
万物皆数，所有数字都可以表示为整数或整数的比.
第一次数学危机
x2＝2中的x不能表示为整数或整数的比.
探究一：算术平方根的概念及性质.
活动1：完成下列情境中的问题，并回答相关思考.
学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
因为32=9，所以这个正方形画布的边长应取3 dm.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}正方形的面积/dm2
1
9
16
36
425
正方形的边长/dm
1
3
4
6
25
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
思考：根据上表可知已知正方形的面积求边长，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，如果我们定义3是9的算术平方根，那么同学们讨论
说说什么叫做算术平方根？
例如：2的算术平方根记作2，3的算术平方根记作3，
如果x2＝2(x＞0)，那么x叫作2的算术平方根，即x＝2．
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一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根 (arithmetic square root)，即a的算术平方根记为????，读作“根号a”.
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思考：
1.一个正数的算术平方根有几个？
2.0的算术平方根是多少，有几个？
3.-2有算术平方根吗？负数有算术平方根吗？
注意：1.一个正数的算术平方根有1个；2.0的算术平方根有1个，是0；
3.负数没有算术平方根.
算术平方根的性质：
(1)正数的算术平方根是正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；
1.求下列各数的算术平方根：81， 0，214 ，106，0.81 ．
?
解：∵ 92＝81，∴81的算术平方根81＝9；
?
∵ 0的算术平方根0＝0；
?
∵(32)2＝94 ＝214，∴ 214的算术平方根94＝32；
?
∵(103)2＝106，∴ 106的算术平方根106?＝103；
?
∵ 0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根0.81＝0.9．
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活动2：阅读教材P62例1，完成下列求算术平方根运算.
问题：根据算术平方根的定义，(2)2，(3)2计算结果的符号是正还是负，(－2)2有意义吗？
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思考1：根据上面的问题，对于????作为????的算术平方根，其有哪些隐含条件？
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1.????≥0，????>0．
2.????2＝????=???? (????≥0) ?????(????<0)
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探究二：算术平方根的双重非负性.
活动1：完成下列的问题和思考.
思考2：对于????2该如何化简？作为????的算术平方根，其有哪些隐含条件？
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算术平方根的双重非负性：
(1)(????)2＝a (a ≥0)；
(2)????2＝????＝????(????≥0)－????(????≤0) .
?
填空：
（1）(9)2＝________； （2）(5)2＝________；
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（3）342＝________； （４）(－5)2＝________．
?
9
5
34
?
5
已知x、y、z满足????－4＋(y－2)2＋|z＋3|＝0，求(x－y＋z)2025的值．?
?
解：∵ ????－4＋(y－2)2＋|z＋3|＝0，
∴ x－4＝0，y－2＝0，z＋3＝0.
∴ x＝4，y＝2，z＝－3.
∴ (x－y＋z)2025＝(4－2－3)2025＝(－1)2025＝－1.
?
活动2：运用????的双重非负性解决相关问题.
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常见非负数的“三种类型”：
(1)一个数的偶次方，例如a2，a4，a6等；
(2)一个数的绝对值，例如|a|，|x＋2|等；
(3)一个非负数的算术平方根，例如????(a≥0)，????－3(x≥3)等．
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非负数的性质：若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0．
例如：????＋????＋????2＝0
?
a＝0 b＝0 c＝0．
1.已知y＝5－????＋????－5＋3，求xy的值.?
?
解：由题意，得 5－????≥0，????－5≥0，
化简，得????≤5，????≥5，
∴ x＝5.
∴ y＝5－5＋5－5＋3＝3，
∴ xy＝53＝125.
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算术平方根
定义
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根．
双重非负性：
两个重要的关系式：
a≥0，????≥0
?
(????)2＝a（ a ≥0）
?
????2＝????
?
1. 9的算术平方根是(　C　)
A. ±3 B. ±9 C. 3 D. －3
C
2. 下列说法中正确的是(　A　)
A. 因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B. 因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C. 因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D. 以上说法都不对
A
3. 下列说法中正确的是(　A　)
A. 25 表示25的算术平方根； B. － 2 表示2的算术平方根；
C. 2的算术平方根记作± 2； D. 2是 2 的算术平方根；

A
4.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，
那么图中阴影部分的面积为___.
2
5.已知y＝ ＋5，求x＋y的值．
解：由题意可得x－8≥0且8－x≥0，
即x≥8且x≤8.
∴x＝8.
当x＝8时，y＝5.
∴x＋y＝8＋5＝13.

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