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2.1 课时2 平方根
第二章 实数的初步认识
1. 了解数的平方根的概念及其符号表示；
2. 掌握平方根的性质，并能运用性质解决有关问题；
3. 了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方根；
4.借助图形理解平方根大小与被开方数的关系，并能应用这种关系比较平方根的大小.
如果 ????2＝4 ，那么x是多少？
?
∵ 22＝4， (－2)2＝4，
∴ x是2或－2．
思考：使x2＝a(a＞0)成立的数x有几个？它们之间有什么关系？
1.35和?35的平方等于多少？ 10和－10的平方等于多少？
2.平方等于925的数有哪些？平方等于100的数呢？
3.满足x2 = 25的x的值是多少？
?
活动1.完成下列问题.
探究一：平方根的概念与性质.
925 ，100；
?
±35，±10；
?
±5
?
思考：如果我们定义±5为25的平方根，小组讨论说说平方根的该怎么定义？
?
例如，2和－2是4的平方根.
一般地，如果x?＝a(a≥0)，那么x叫作a的平方根(square root)，
也称为二次方根.
1.下列说法：
①±5是25的平方根；②49的平方根是－7；
③8是16的平方根；④－3是9的一个平方根．
其中正确的个数是(　　)
A．1　 　B．2　 　C．3　 　D．4
B
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
...
-3
-1
0
1
3
...
x2
...
...
9
1
0
1
9
问题1：正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？
问题2：0和负数有平方根吗？
活动2.填写下列表格，回答问题.
平方根的性质：
(1) 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2) 0只有一个平方根，是0本身；
(3)负数没有平方根．

平方根的表示方法：
一个正数有两个平方根：一个正数，一个负数.正数a的两个平方根记为±????，其中“±”表示可以取正、负两个值，正数 a的正平方根是算术平方根????，负的平方根是?????.
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平方根
算术平方根
区
别
联系
关 系
名 称
定义不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根．
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法不同
±????
?
????
?
取值范围不同
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根是一定是正数
具有包含关系
平方根包含算术平方根
存在条件相同
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0
活动3.分析平方根与算术平方根的区别与联系.
1．求下列各数的平方根：
0.01，2516， 0，10，－132 ．
?
解： ∵0.12＝0.01，∴0.01的平方根±0.01＝±0.1；
?
∵542＝2516，∴2516的平方根±2516＝±54；
?
∵－132 ＝132 ，∴－132 的平方根±－132 ?＝±13．
?
0的平方根是0；
10的平方根是±10；
?
2.一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，求a的值和这个正数x的值．
解：2.因为正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－1，
所以－a＋2+2a－1=0，解得a=－1,所以????=(?????+2)2=(1+2)2=9
?
活动.阅读P64中开平方的相关内容，说说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
探究二：平方与开方运算的关系.
开平方：求一个数的平方根的运算；
方法：借助平方运算来求一个正数的平方根
开方与平方的关系：对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
36
平方运算
开平方运算
如图，填空：
±x
x2
平方
开平方
＋7
－7
169225
?
49
－14
196
＋14
＋1315
?
－1315
?
解：(1) 如图，3＞2．
?
(1)
活动.将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上，据图比较2与3的大小，并完成后面的思考.
?
探究三：平方与开方运算的关系.
思考：已知????>????>0，则????与????的有怎样的大小关系？
?
算术平方根的大小关系：
被开方数越大，则它的算术平方根越大.
1.36的平方根是±6的数学表达式是(　D　)
A. 36 ＝6
B. ± 36 ＝6
C. 36 ＝±6
D. ± 36 ＝±6
D
2. 下列说法正确的是(　A　)
A. 0的平方根是0； B. 1的平方根是1
C. －1的平方根是－1； D. 0.01是0.1的一个平方根
A
3.若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．－3或1
D
4.计算下列各式的值：
(1)9； (2)?0.49； (3)±6481；
?
解：（1）9=3；（2）?0.49=?0.7；
（3）因为(89)2=6481，所以±6481=±89
?
5.圆的面积扩大为原来的3倍，半径扩大为原来的多少倍?
解：设原半径为r，扩大后的半径为r'．
由圆的面积公式得：π(r')2＝3πr2，
化简得：(r')2＝3r2 ，
解得： r'＝3r．
答：半径扩大为原来的3倍．
?
平方根
定义
如果x?＝a(a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根．
性质
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
0的平方根是0．
负数没有平方根．
运算
求一个数的平方根的运算叫作开平方.

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