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2.2 立方根
第二章 实数的初步认识
1.了解立方根的定义，会用根号表示一个数的立方根，能说出平方根与立方根的区别与联系；
2.知道开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方根，体会立方根的唯一性；
3.能用立方根解决一些简单的实际问题.
1.什么叫平方根？
2.平方根的性质有哪些？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2=a,那么x 叫做a的平方根．
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0只有两平方根，是0本身；
（3）负数没有平方根.
已知小正方体棱长为1，当正方体的体积增大1倍时，它的“棱长”是多少？
活动1.阅读下列情境，回答问题.
探究一：立方根的概念及其性质.
小亮：由已知小正方体的棱长为1，所以它的体积为V=13 = 1；当正方体的体积增大27倍时，V=27，而根据公式有33=27，所以，这个大正方体的棱长为3.
?
思考：小亮的做法依据的是什么？
活动2.求满足下列各式的x的值，并完成后面的思考.
(1)????3=－1；(2)????3=64；(3)????3=0.008；(4)????3=?1125
?
解：（1）∵(?1)3=?1，且????3=－1，∴????=?1；
（2）∵43=64，且????3=64，∴????=4；
（3）∵0.23=0.008，且????3=0.008，∴????=0.2；
（4）∵(?15)3=?1125，且????3=?1125，∴????=?15；
?
思考：类比平方根的定义，请同学们讨论，说说立方根该怎么定义？
例如，(－3)3＝－27，－3是－27的立方根，即3－27＝－3；
又如，x3＝2，x是2的立方根，即x＝32．
?
一般地，如果x3＝a，那么x叫作a的立方根(cube root)，也称为三次方根．a的立方根记作“3????”，读作“三次根号a”．
?
根指数
(不能省略)
被开方数
读作:三次根号 a
立方根的表示：
3????
?
开立方与立方互为逆运算.
求一个数的立方根的运算叫作开立方 (extraction of cubic root).
1.在下图中填空：
x
x3
立方
开立方
＋1
－1
27
－1
－8
＋2
1
8
－2
－27
3
－3
思考：1.观察上面各数及其立方根的符号，说说你有什么发现？
2.正数、0、负数的立方根各有什么特点？
0
0
2
-2
-2
2.根据立方根的意义填空：
因为23=8，所以8的立方根是（　）；
因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是（　 ）；
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（ 　）；
因为 ( )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ ）；
因为( ) 3＝?827，所以?827的立方（ ）.
?
立方根的性质：
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
零的立方根是零.
注意：
1.任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的.
2.任何有理数的立方根与其本身同号.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平方根
立方根
区
别
联系
关 系
名 称
概念不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根．
如果 x3＝a ，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根
表示方法不同
±????
?
3????
?
被开方数的取值范围不同
被开方数是非负数，即 a≥0
被开方数是任意数
运算关系
开方运算与相应的乘方运算互为逆运算
转化条件
都可以转化为非负数的非负方根来研究
0
0的平方根和立方根都是0
活动3.分析平方根与立方根的区别与联系 .
1.下列各数有立方根吗？如果有，求出它们的立方根．
(1) 64； (2)－8125； (3) 0.027； (4) 9； (5) 0．
?
解：5个数都有立方根．
(1) ∵ 43＝64， ∴ 64的立方根是364＝4；
(2)∵ －253＝－8125，∴－8125的立方根是3－8125 ＝－25；
?
(3) ∵ 0.33＝0.027， ∴ 0.027的立方根是30.027＝0.3；
(4) 9的立方根是39；
(5) 0的立方根是0．
?
(1) (32)3＝_______；(3?2)3＝_______；
?
(2) (3－7)3＝_______；－373＝_________；
?
(3) 3143 ＝_________；－3－164＝_______.
?
2
－2
－7
－7
14
?
14
?
活动1.完成下列填空，回答问题.
探究二：开立方运算.
思考：1.3????3=？
2.3(?????)3、(3?????)3运算前后的负号是怎么处理的？
?
立方根中三个重要的关系式：
(1)3????3＝a；
(2)(3????)3＝a；
(3)3－????＝－3????.
?
1.求下列各式的值：
解：
1.下列各式中，正确的是(　　)
A. ＝±2 B. ＝5
C. ±2 D.
2. 3216的算术平方根是(　　)
A．4 B．±4
C. 6 D．±6
?
C
B
3.有下列说法:①一个数的立方根有两个,它们互为相反数;②若x3=(-2)3，则????=?2；③15的立方根是315；④任何有理数都有立方根,它不是正数就是负数.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
4.若一个数的立方根与它本身相同,则这个数是(　　)
A.0 B.0或1 C.0或-1 D.0或±1
B
D
5.填一填：
(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．
(2)平方根是它本身的数是___．
(3)算术平方根是其本身的数是____．
(4)64的立方根为 .
?
(5)3(?8)2的平方根为 .
?
(6)3?512的立方根为 .
?
1
?
1
?
±1
?
0
0, 1
?
±2
?
2
?
?2
?
6.两个球形探空气球的体积分别约为5 120 m3和80 m3，试计算它们的半径比（球的体积公式：V球=43????R3，R为球的半径).
?
解：由球的体积公式可知：
????大????小＝3512080＝82＝4:1
?
7.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b＋1的立方根是3.
(1)求a，b的值；
(2)求a＋b的算术平方根.
(2)由(1)可得a＋b＝16，
∴a＋b的算术平方根为4.
解：(1)由题意得，
3????＋????＋1＝27，2????－1＝9，
?
解得，????＝5，????＝11.
?
立方根
定义
如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．
性质
正数的立方根是正数．
0的立方根是0．
负数的立方根是负数．
运算
求一个数的立方根的运算叫作开立方.
三个重要的关系式
3????3＝a；(3????)3＝a；3－????＝－3????．

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