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2.3 课时1 无理数
第二章 实数的初步认识
1.理解无理数的定义，能够判断一个数是否为无理数；
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算意识．
1.什么叫做有理数？
2.利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
整数和分数统称有理数.
它们都可以化为有限小数或无限循环小数
思考：是不是所有的数都可以像有理数这样写成有限小数或者循环小数呢？
问题1：?????????????????与????正方形之间存在什么数量关系？它们的面积是多少？
问题2：设正方形的边长为x cm，则x等于多少？
?
(1)
(2)
A
B
C
D
活动1. 如图(1)所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形.
探究一：2的特点.
?
?????????????????=????正方形
?
?????????????????＝12×2×2＝2????????2，则????2=2，即????=2????????
?
思考：我们知道整数和分数统称为有理数，小组讨论2是有理数吗？如果是，
它是什么有理数，如果不是，说明理由（分数包括有限小数与无限循环小数）
?
事实上，2不是有理数.借助计算机可以得到
2= l.414213562373095048801688724209698078569 … . 它是一个无限不循环小数.
?
思考：如果我们将2定义为无理数，那么请同学们说说无理数的概念是什么？
?
无理数：无限不循环小数.
比如：3＝1.732 05…，5＝2.236 06…，6＝2.449 48…，等，都是无限不循环小数，它们都是无理数.
?
注：1.无理数不能写成分数形式 ????????（m，n是整数）.
2.无理数包括正无理数和负无理数.如2，????，3，5，6等，都是正无理数；
?2，?????，?3，?5，6等，都是负无理数.
一般地，如果a是一个正无理数，那么－a是一个负无理数.
?
1.下列各数：3.14159，?38，0.232 232 223…(每两个3之间依次多一个2)，?????，25，?17中，无理数有(　　)
A．1个　 　B．2个　　　C．3个　　D．4个
?
B
解析：∵3.14159是有限小数，∴3.14159是有理数； ∵?38=?2，∴?38是有理数；∵25=5，∴ 25是有理数；∵?17是分数，∴?17是有理数；∵0.232232223…(每两个3之间依次多一个2)，????? 都是无限不循环小数，∴0.232232 223…(每两个3之间依次多一个2)，?????是无理数.共2个无理数.
?
判断：π－3，2＋1是否为无理数？为什么？
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活动1. 分析教材P71中的“阅读”栏，找到证明关键，并完成下列判断.
探究二：如何判断无理数.
思考：1.证明过程中采用了什么方法，且该方法的证明步骤是怎样的？
2.小组讨论，说说该方法完成的关键条件是什么？
1.反证法，（1）假设待证结论的反面成立；（2）应用假设成立的条件的性质进行演绎推理；（3）找到推理结果与基本事实的矛盾；（4）说明原命题成立.
2.理解有理数的表达式：????????，其中(????、????为整数，且????≠0).
?
判断：π－3，2＋1是否为无理数？为什么？
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解：π－3，2＋1均是无理数．
(1)假设π－3是有理数，则π－3能写成分数???????? (m，n是整数)，
∴π＝π－3＋3＝????????＋3＝????＋3???????? ，
∵m，n是整数，
∴????＋3????????是有理数，即π是有理数，这与π是无理数矛盾．
∴假设不成立，π－3是无理数．
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活动1. 分析教材P71中的“阅读”栏，找到证明关键，并完成下列判断.
探究二：如何判断无理数.
判断：π－3，2＋1是否为无理数？为什么？
?
活动1. 分析教材P71中的“阅读”栏，找到证明关键，并完成下列判断.
探究二：如何判断无理数.
假设2＋1是有理数，则2＋1能写成分数???????? (p，q是整数)，
∴2＝2＋1－1＝????????－1＝????－???????? ，
∵p，q是整数，
∴????－????????是有理数，即2是有理数，这与2是无理数矛盾．
∴假设不成立，2＋1是无理数．
?
注：
一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．
一个有理数与一个无理数的差一定是无理数．
一个非零有理数与一个无理数的积一定是无理数．
1.（1）对平方根进行平方，得到被开方数；
（2）在（1）的被开方数中，找到它前后能开方的两个整数；
（3）对这两个整数进行开方，即所得的结果就是所求数的整数范围
2.因为(35)3=5，又13=1，23=8，且1<5<8，所以31<35<38，即
1<35<2.
?
活动. 阅读教材P70中的例1.
探究三：如何估算无理数大小.
思考：教材中是如何估算15、17、26的？由此估算35所在的整数范围.
?
实数（无理数）估算：
1.平方比较；
（1）被开方数在哪两个相近的完全平方数之间；
（2）不等式开方
（3）负实数（无理数）的估算先转换为正实数（无理数）估算；
1.判断下列哪个无理数大于3且小于4：
7， 10 ．
?
解：这两个数中， 10大于3且小于4．理由如下：
∵(7)2＝7，而7＜9，∴7＜9，即7＜3；
∵(10)2＝10，而9＜10＜16，∴9＜10＜16，即3＜10＜4．
?
1.在实数0，π，227，72，27中，无理数的个数有 (　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
?
C
2.下列说法正确的有_______.
①无理数都是实数；②实数都是无理数；
③无限小数都是有理数；④带根号的数都是无理数；
⑤不带根号的数都是有理数.
①
3.把下列各数填入相应的集合内：
|?9|，35，64，????2，0.6，?34，3?9，3，0.13
?
有理数集合 {|?9|，64，0.6，?34，3，0.13}
无理数集合{35，????2，3?9}：
实数集合{|?9|，35，64，????2，0.6，?34，3?9，3，0.13}：
?
3. 已知 a ＝ 5 ， b ＝2， c ＝ 3 ，则 a ， b ， c
的大小关系是(　C　)
?
A. b ＞ a ＞ c
B. a ＞ c ＞ b
C. a ＞ b ＞ c
D. b ＞ c ＞ a
C
4.设n为正整数，且????＜34＜????+1，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
?
B
5. 估计5?1位于（ ）
?
A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间
B
无理数
定义
无限不循环小数叫作无理数．
正无理数
负无理数
用有理数估计无理数范围
平方比较法
无理数的判断
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