资源简介

3.2.2 奇偶性
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.理解并掌握判断函数的奇偶性的方法.
下图体现了“生活中的对称美”，由此你能联想到数学中的相关函数吗？
说一说
O
x
y
①
②
O
x
y
③
O
x
y
④
O
x
y
O
x
y
⑤
图象关于y轴对称：①③④
图象关于原点对称：②⑤
问题1：哪些函数图象也具有类似的对称特征呢？
问题2：结合图象，从“形”上观察它们有什么共同特征？
O
x
y
O
x
y
函数图象关于y轴对称
形
数
符号语言
？
????(????)=2?|????|
?
追问1：观察表格，结合解析式，从“数”上观察函数有什么共同特征？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=x2
…
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=2-|x|
…
…
9 4 1 0 1 4 9
-1 0 1 2 1 0 -1
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}x
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
f(x)=x2
...
9
4
1
0
1
4
9
...
f(x)=2?|x|
...
-1
0
1
2
1
0
-1
...
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
...
9
4
1
0
1
4
9
...
...
-1
0
1
2
1
0
-1
...
发现：
????(1)____ ????(?1)
?
????(2)____????(?2)
?
????(3) ____????(?3)
?
猜想：
????(????) ___????(?????)
?
=
=
=
=
一般地，设函数????(????)的定义域为????，如果?????∈???? ，都有?????∈???? ，且????(?????)=????(????),那么函数????(????)就叫做偶函数.
?
图象关于????轴对称
?
????(?????)=????(????)
?
偶函数
新知生成
是
不是
偶函数的前提条件：函数的定义域关于原点对称.
(1)对于定义在R上的函数 ????(????) ，有?????3=????(3).
?
不一定，因为?????3
=????(3)并不能保证
所有的 ?????????=????(????)
?
注意定义中：如果?????∈????，都有?????∈????
?
判一判
1.满足下列条件的函数是偶函数吗？
问题3：类比偶函数概念的建构过程，思考并回答以下问题。（小组合作完成）
（1）函数f(x)=x和函数f(x)=1x的图象有什么共同特点？
（2）你能用符号语言描述这一发现吗？
?
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表:
发现：
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}x
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
f(x)=x
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
f(x)=1x
...
-13
-12
-1
1
12
13
...
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
...
-1
1
...
当自变量????互为相反数时，
函数值????(????)也互为相反数
?
问题4：类比偶函数的概念，尝试说出奇函数的概念.
一般地，设函数????(????)的定义域为????，
如果?????∈???? ,都有?????∈????,
且????(?????)=????(????),
那么函数????(????)就叫做偶函数.
?
一般地，设函数????(????)的定义域为????，
如果?????∈???? ,都有?????∈????,
且????(?????)=?????(????),
那么函数????(????)就叫做奇函数.
?
前提条件：函数的定义域关于原点对称
奇函数
偶函数
整体性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，判断函数的奇偶性先明确它的定义域．
解：(1)函数f(x)=x4的定义域为R.
因为?x∈R,都有?x∈R,且f(?x)=(?x)4=x4=f(x),
所以，函数f(x)=x4为偶函数.
(2)函数f(x)=x5的定义域为R.
因为?x∈R,都有?x∈R,且f(?x)=(?x)5=?x5=?f(x),
所以，函数f(x)=x5为奇函数.
?
例1 判断下列函数的奇偶性：

(3)函数????(????)=????+1????的定义域为{????|????≠0}.
因为?????∈{????|????≠0},都有?????∈{????|????≠0},
且????(?????)=??????1????=?????+1????=?????(????),
所以函数????(????)=????+1????为奇函数.
?
(4)函数????(????)=1????2的定义域为{????|????≠0}.
因为?????∈{????|????≠0},都有?????∈{????|????≠0},
且????(?????)=1?????2=1????2=????(????),
所以函数????(????)=1????2为偶函数.
?
例1 判断下列函数的奇偶性：

偶函数的定义域一定要关于原点对称。
(奇函数也是)
????(????)=???? (?3≤????≤4)是否是偶函数？
?
思考
不是，因为对于函数f(x)=x (?3≤x≤4)的定义域内任意一个x，不满足f(?x)=?f(x)都成立.
?
函数奇偶性的判断：
求函数f(x)的定义域
f(x)既不是奇函数也不是偶函数
判断f(-x)与f(x)的关系
判断定义域是否关于原点对称？
f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x)
是
否
f(-x)= f(x)
f(x)是偶函数
f(x)是奇函数
f(-x)= -f(x)
f(x)既是奇函数 也是偶函数
f(-x)= f(x)= - f(x)
方法归纳
例2 如图是函数 f(x)＝x3＋x 图象的一部分，你能根据 f(x)的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗？
判断函数奇偶性的方法：
(2)图象法：
(1)定义法：
方法归纳
（一）知识：
（二）方法:
判断函数的奇偶性有几种方法：
图象法、定义法
本节课你学到了哪些知识？
1.下列图象表示的函数中，奇函数有______，偶函数有________(填序号)．

②④
①③
关于Y轴对称
关于Y轴对称
关于原点对称
关于原点对称
解： (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
(2)由1?????2≥0,????2?1≥0得????2＝1，即????＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又????(1)＝????(?1)＝?????(?1)＝0，所以函数????(????)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数????(????)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数????(????)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)????(????)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当????>0时，－????<0，????(?????)＝－(－????)＋1＝????＋1＝????(????)；
当????<0时，－????>0，????(?????)＝－????＋1＝????(????)．
综上可知，?????∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有????(?????)＝????(????)，所以函数????(????)为偶函数．

展开更多......

收起↑