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2.2 充分条件、必要条件、充要条件
1.理解充分、必要条件与充要条件的概念.
2.掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.
3.会对某些命题的充要条件进行证明.
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．
想一想：　
(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)从数学的角度如何描述这种关系？
先完成对下列真、假命题的条件与结论间的关系的判断，再尝试归纳得出的结论.
试一试
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形
是菱形；
(2)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b.
?
真命题
由p可以推出q成立
假命题
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(4)若x2?4x+3=0，则x=1；
?
由p可以推出q成立
两个三角形的周长相等，这两个三角形未必全等；
若x2?4x+3=0，x不一定为1，还可以为3.
?
假命题
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(4)若x2?4x+3=0，则x=1；
?
命题真假
“若p，则q”真
推理关系
条件关系
“若p，则q”假
称p是q的充分条件
也称q是p的必要条件
称p不是q的充分条件
也称q不是p的必要条件
要点归纳
充分条件和必要条件的关系是同时存在的
例如p:我是河南人 q: 我是中国人
p? q，则p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p:我是中国人 q: 我是中国人
P＝Q
P Q
P Q
√
从集合角度理解充分条件、必要条件:
要点归纳
例1.下列所给的各组 ????，????中，???? 是 ???? 的充分条件的有哪些?
(1) ????：????＝2，????：????2－????－2＝0；
(2) ????：四边形的对角线相等，????：四边形是正方形.
(3) ????：同位角相等，????：两条直线平行；
(4) ????：四边形是平行四边形，????：四边形的对角线互相平分.
?
解： (1)，(3)， (4)
1.指出下列哪些命题中????是????的充分条件？
(1)????：????∈????，????：????∈????；
?
解　由????＝1?(????－1)(????－2)＝0，故????是????的充分条件.
?
解　由于Q?R，所以p?q，所以????是????的充分条件.
?
(2)已知????，????∈????，????：????＝1，????：(????－1)(????－2)＝0；
?
练一练
(3)已知????∈????，????：????>2，????：????>4.
?
解　方法一　由????>2?????>4，所以????不是????的充分条件.
方法二　设集合????＝{????|????>2}，????＝{????|????>4}，
所以?????????，所以????不是????的充分条件.
?
思考：现在你能总结充分条件或必要条件的判断方法吗？
练一练
(1)定义法：
若?????????，则????是????的充分条件，????是????的必要条件.
(2)集合法：
若????对应的集合为????，????对应的集合为????，若?????????，则????是????的充分条件，????是????的必要条件.
?
方法归纳
充分条件或必要条件的判断方法
解： (1)，(3)， (4)
既有 ???? ? ????，也有???? ? ????.
?
例2. 下列所给的各组 ????，????中，???? 是 ???? 的必要条件的有哪些?
(1) ????：∣????∣＝1，????：????＝1；
(2) ????：两个直角三角形全等， ????：两个直角三角形的斜边相等；
(3) ????：同位角相等，????：两条直线平行；
(4) ????：四边形是平行四边形， ????：四边形的对角线互相平分
?
已知p:整数a是6的倍数； q:整数a是2和3的倍数.
p是q的必要条件吗？p是q的充分条件吗？
思考1：
√
√
P Q
?????????
?
?????????
?
充分
必要
q 是 p 的充分条件，即p是q的必要条件
p是q的充分条件
?????????
?
要点归纳
充要条件
思考2：若????是????的充分条件，这样的条件????唯一吗？
?
不唯一.
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形
若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形
若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是四边形
思考3：给定条件????，由????可以推出的结论是否唯一呢？
?
不唯一.
若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等
若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等
若四边形是四边形，则四边形的两条对角线互相平分
性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件
例3.指出下列命题中，????是 ???? 的什么条件：
(1) ????：两个三角形全等， ????：两个三角形的对应角相等；
(2) ????：三角形的三边相等， ????：三角形是等边三角形；
(3) ????：????2＝ ????2， ????：???? ＝ ????；
(4) ????：???? ＞ ????， ????：????2＞????2.
?
解： (1)????是????的充分条件，但????不是????的必要条件.
(2)????是????的充要条件
(3)???? ? ????，但 ???? ? ????，即????是????的必要条件，但????不是????的充分条件.
(4)????不是????的充分条件，????也不是????的必要条件
?
2.判断正误.
①“x=y”是“x2=y2”的充分不必要条件;
②“|x|=|y|”是“x2=y2”的必要不充分条件:
③两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件;
④在平面上,“一个四边形的四边相等”是“这个四边形为菱形”的充要条件.
练一练
×
√
√
√
1.充分条件、必要条件的概念.
2.充要条件的概念及应用.
3.充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.
本节课你学到了哪些知识？
√
√
√
√
4.若“x (　　)
A.{a|a≥3} B.{a|a≤-1}
C.{a|-1≤a≤3} D.{a|a≤3}
解析 因为“xB

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