2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 课件(23页) 2025-2026学年苏教版(2019)高中数学必修第一册

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2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 课件(23页) 2025-2026学年苏教版(2019)高中数学必修第一册

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2.3.1 全称量词命题与存在量词命题

学习目标

1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能判断其真假.
3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应用.
新知引入

所有”,“至少有”,“每一个”等短语,在逻辑上称为量词.
随着各大学的陆续开学,曾经的每一个高中生都开启了新的生活。
李老师在统计本班学生的毕业去向的时候发现:
(1)所有学生都考入了本科院校;
(2)大部分同学考入的是双一流大学;
(3)有的同学选择了国外留学;
(4)每一名同学在去大学报到前都回来和老师告别.
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新知学习
预习检测
1.全称量词与全称量词命题:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全称量词
全称量词命题
定义
符号表示
定义
一般形式
符号表示
短语
“ ”
“ ”
“ ”
在逻辑中通常叫做全称量词
含有 量词的命题,叫做全称量词命题
对M中 x,p(x)成立
,p(x)
任意一个
?
?
?x∈M
?
所有的
全程
任意一个
每一个
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2.存在量词与存在量词命题:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}存在量词
存在量词命题
定义
符号表示
定义
一般形式
符号表示
短语
“ ”
“ ”
“ ”在逻辑中通常叫做全称量词
含有 量词的命题,叫做全称量词命题
对M中 x,p(x)成立
,p(x)
至少有一个
?
?
?x∈M
?
存在一个
存在
存在
部分
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(1)全称量词命题:
要判定一个全称量词命题为真,必须对给定的集合中的________元素,命题都为真;
但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到______元素,使命题为假.
(2)存在量词命题:
要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到______元素,使命题为真即可;
否则命题为假.
一个
每一个
一个
3.全称量词命题与存在量词命题的真假判断:
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预习检测
练一练
2.下列命题是存在量词命题的是( )
A. 一元二次函数的图像关于y轴对称 B. 正方形都是平行四边形
C. 不相交的两条直线是平行直线 D. 至少有一个x∈R,x能被2和3整除
1.下列命题中,全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是有理数;②对所有的x∈R,x>3;③三角形内角和都是180°;
④对任意一个x∈Z,2x+1是整数;⑤存在实数x,使x>5成立.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
D
D
3.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有实数都有平方根. ( )
(2)“三角形内角和等于????????????? ”是全称量词命题. ( )
?
×

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一、全称量词命题与存在量词命题的判断
探究
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题?
(1)凸多边形的外交和等于360°;
(2)有些实数x,y能使|x-y|=|x|+|y|;
(3)对任意实数x,y,若a>b,则????????>????????;
(4)有些三角形既不是等边三角形也不是直角三角形;
(5)无理数的平方仍然是无理数;
(6)若x>0,则x2-2x+3>0;
(7)?x∈R,使????????+????=0;
(8)?x∈{x|x是平行四边形},x对角线互相评分.
?
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
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总结归纳
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
判命题
判命该语句是否为命题
看命题中是否含有量词或隐含量词,判断量词或隐含量词是全称量词还是存在量词
含有全称量词的命题称为全称量词命题;含有存在量词的命题为存在量词命题.
看量词
下结论
注意:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.
一、全称量词命题与存在量词命题的判断
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一、全称量词命题与存在量词命题的判断
1.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“? ”或“? ” 表述出来.
?
(1)任何一个实数除以1,仍等于这个实数;
解:全称量词命题,?????∈????,????????=???? .
?
(2)有一个奇数不能被3整除;
解:存在量词命题,?????∈{????|????=?????????????,????∈????},???????? 不是整数.
?
(3)每个三角形至少有两个锐角;
解:全称量词命题,?????∈{????|????是三角形},???? 至少有两个锐角.
?
(4)存在负数????,使得????????>???? .
?
解:存在量词命题,????????? .
?
练一练
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二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
探究
用量词符号“?”“?”表示下列命题,并判断其真假.
(1)实数都能写成小数形式;
(2)有一个实数x,使x2+1=0;
(3)菱形的两条对角线互相垂直平分;
(4)至少有一个集合A,满足A?{1,3,5};
(5)对任意一个无理数x,x2也是无理数;
(6)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
?
?x∈R,x都能写成小数形式
?
假命题
?x∈R,使x2+1=0
?
假命题
?x∈{x|x是菱形},x的对角线互相垂直平分
?
真命题
?A∈{A|A是集合},满足A?{1,3,5}
?
真命题
?x∈{x|x是无理数},x2 也是无理数
?
假命题
?(l1,l2)∈{(l1,l2)|l1,l2是平面内两条相交直线},使l1,l2同时垂直于直线l3
?
假命题
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二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
总结归纳
(1)全称量词命题的真假判断
(2)存在量词命题的真假判断
全称量词命题
逻辑证明
真命题
举出反例
假命题
存在量词命题
逻辑推理
假命题
举出正例
真命题
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1.判断下列命题的真假.
(1)至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
解:真命题. 例如有一个内角为????????? 的直角三角形就不是等腰三角形.
?
(2)存在一个实数????,使得方程????????+????+????=???? 成立;
?
解:假命题. 因为方程????????+????+????=????的判别式????=??????????
(3)?????,????∈????,?????????????=?????????????????????+???????? .
?
解:真命题. 因为完全平方公式对任意实数都成立,所以对整数也成立.
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二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
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练一练
2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对?x∈N,2x+1是奇数;
(2)ヨx,y为正实数,使x?+y2=0;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)存在一组m,n的值,使m+n=2;
(5)?x∈R,|x|-1≥1;
(6)至少有一个整数m,使得m2+m为奇数.
?
全称量词命题
真命题
存在量词命题
假命题
全称量词命题
真命题
存在量词命题
真命题
存在量词命题
真命题
存在量词命题
假命题
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
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三、利用全称量词命题与存在量词命题求参数范围
探究
1.已知命题p:?x∈R,使x2+2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.
?
解:因为p是真命题,所以方程使x2+2x+2-a=0有实数根,
所以?=4-4(2-a)≥0,即a≥1
即实数a的取值范围是{a|a≥1}.
?
探究
2.已知命题p:?x∈R,使x2+2x+2-a>0为真命题,求实数a的取值范围.
?
解:因为p是真命题,所以方程使x2+2x+2-a=0无实数根,
所以?=4-4(2-a)<0,即a<1
即实数a的取值范围是{a|a<1}.
?
探究
3.已知集合 ????={????|?????≤????≤????} , ????={????|????+????≤????≤?????????????} ,且 ????≠? .
(1)若命题 ????: “ ?????∈???? , ????∈???? ”是真命题,求实数 ???? 的取值范围;
(2)若命题 ????: “ ?????∈???? , ????∈???? ”是真命题,求实数 ???? 的取值范围.
?
解:(1)因为命题 ????: “ ?????∈???? , ????∈???? ”是真命题,所以 ????????? .
又因为 ????≠? ,所以????+????≤??????????????????????????≤????????+????≥????? , 解得 ????≤????≤???? .
所以实数 ???? 的取值范围为 [????,????] .
(2)因为 ???? 为真,所以 ????∩????≠? ,因为 ????≠? ,所以 ????≥???? ,
所以????+????≤?????????????????≥?????????≥???? 解得 ????≤????≤???? .
所以实数 ???? 的取值范围为 [????,????] .
?
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总结归纳
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称量词命题为真命题时,常转化为不等式的恒成立问题,最终通过构造函数转化为函数的相关问题来处理.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理
三、利用全称量词命题与存在量词命题求参数范围
2.若命题“?????∈????,????????+????+????=????”是真命题,则实数???? 的取值范围是______.
?
新知引入
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1.若命题“?????∈????,?????????????≤????”是真命题,则实数???? 的值是___.
?
解:当????=????时,不等式显然恒成立;
当????>????时,由?????????????≤????得????≤???????? ,不符合题意;
当?????
解: ∵ “?????∈????,????????+????+????=????”是真命题,∴????=?????????????≥????,∴????≤???????? .
?
练一练
0
????≤????????
?
三、利用全称量词命题与存在量词命题求参数范围
新知引入
新知学习
练一练
3.已知M={x|a≤x≤a+1},
(1)若“?x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“?x∈M,x+1>0”成立,求实数a的取值范围.
解:(1)?x∈M,x+1>0是真命题,即a+1>0,解得a>-1,
所以实数a的取值范围是a>-1.
(2)“?x∈M,x+1>0”成立,即a+1+1>0,解得a>-2,
所以实数a的取值范围是a>-2.
三、利用全称量词命题与存在量词命题求参数范围
新知引入
课堂小结
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}全称量词
定义
所有的、任意一个、一切、每一个、任给…
符号表示
?
全称量词命题
定义
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题
一般表示
对????中任意一个????,????????成立
符号表示
?????∈????,????(????)
存在量词
定义
存在、至少、有一个,有些、有的、对某些…
符号表示
?
存在量词命题
定义
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题
一般表示
存在????中的元素????,????????成立
符号表示
?????∈????,????(????)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}全称量词
定义
所有的、任意一个、一切、每一个、任给…
符号表示
全称量词命题
定义
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题
一般表示
符号表示
存在量词
定义
存在、至少、有一个,有些、有的、对某些…
符号表示
存在量词命题
定义
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题
一般表示
符号表示
全称量词与存在量词
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随堂练习
1.(多选题)下列命题是全称量词命的是( )
A.任何一个实数乘零都等于零 B.自然数都是正整数
C.存在一个负数x,使x-1>2 D.所有二次函数的图象都开口向上
2. 将命题“ x2+y2≥2xy ”改写成全称量词命题为 .
3.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A. ?x∈R,x2≥0 B. ?x∈N,x>1 C. ヨx∈Z,x<1 D. ?x∈Q,?????Q
4.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被4整除又能被5整除”是 命题,(填“真”或“假”).
5.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是 .
?
ABD
ACD
a≤3

对任意x,y∈???? ,都有x2+y2≥2xy 成立
?
新知引入
随堂练习
6. 已知命题????:?????∈{????|?????????≤????≤????},?????????≥????,命题????:?????∈????,????????????+????????+????=????.
若????与????都是真命题,求实数????的取值范围.
?
解:若????为真命题,则对???????????≤????≤????,有????≤????恒成立,∴????≤?????????.
若????为真命题,则关于????的方程????????????+????????+????=????有实数根,
所以?=?????????????????≥????,即????≥????????或????≤?????????.
综上,实数????的取值范围为{????|????≤?????????}.
?
课时作业
作业
1.P37“练习”1,2;
2.P40“习题2.3”1,2,3.

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