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2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

学习目标

1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.
新知引入
某地跳蚤市场以货品全、质量高而闻名，该市场的一条宣传语是“跳蚤市场的的每一件用品都是合格的”。
某日一消费者在该市场购买一台变频空调，安装后使用一个星期就发现空调不能制冷，经与市场管理处协商，作更换新机处理。
跳蚤市场的的每一件用品都是合格的
至少存在一件用品是不合格的
全称量词命题
存在量词命题
否定
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预习检测
1.命题的否定：
（1）一般地，对一个命题进行 ，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
（2）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 .
否定
一真一假
原命题p的否定记为?p，读作“非 p”.
?
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2.全称量词命题的否定：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全称量词命题
全称量词命题的否定
结论
?????∈????，????(????)
.
全称量词命题的否定是
命题.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全称量词命题
全称量词命题的否定
结论
.
全称量词命题的否定是
命题.
?????∈????，?????(????)
?
存在量词
(1)常见全称量词的否定：“任意”的否定是“存在”，“所有”的否定是“不都”.
（2）含全称量词命题的否定，总结起来六个字“改量词，否结论”.
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3.存在量词命题的否定：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}存在量词命题
存在量词命题的否定
结论
?????∈????，????(????)
.
存在量词命题的否定是
命题.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}存在量词命题
存在量词命题的否定
结论
.
存在量词命题的否定是
命题.
?????∈????，?????(????)
?
全称量词
（2)与全称量词命题类似，含存在量词命题的否定，总结起来六个字“改量词，否结论”.
(1)常见存在量词的否定：“存在”的否定是“任意”，“有”的否定是“所有”.
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1.写出下列全称量词命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
解：?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
?
（2）p：每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
解：?p：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
?
（3）p：? ????∈???? ， ???????? 的个位数字不等于3.
?
解：?p： ?????∈???? ， ???????? 的个位数字等于3.
?
练一练
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预习检测
练一练
2.写出下列存在量词命题的否定：
（1）p： ?????∈???? ， ????+????≤???? ；
?
解：?p： ?????∈???? ， ????+????>???? .
?
（2）p：有的三角形是等边三角形；
解：?p：所有的三角形都不是等边三角形.
?
（3）p：有一个偶数是素数.
解：?p：任意一个偶数都不是素数.
?
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常用词语及其否定：
原词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
原词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
原词语
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
某个
某两个
某些
不能
总结归纳
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一、全称量词命题的否定及其真假的判断
探究
写出下列命题的否定，并判断其真假？
（１）所有矩形的对角线相等;
（２）不论m取什么实数，关于x的方程x2+x-m=0必有实数根；
（３）等圆的面积相等；
（４）?x∈R，x＋｜x｜≥０．；
（5）每一个有理数都能写成分数形式．
?
假命题
真命题
假命题
假命题
解：存在实数m，使关于x的方程x2+x-m=0没有实根
有的矩形的对角线不相等
解：至少存在一个矩形的对角线不相等
解：存在一对等圆的面积不相等
解：?x∈R，x+|x|<0
?
解：有的有理数不能写成分数形式
真命题
假命题
真命题
真命题
假命题
真命题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
?p
真
假
假
真
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
真
假
假
真
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一、全称量词命题的否定及其真假的判断
总结归纳
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
1.对全称量词命题进行否定的两步操作：
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定.
2.真假判断：
若全称量词命题为真命题，则其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，则其否定命题就是真命题.
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一、全称量词命题的否定及其真假的判断
练一练
1.命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（ ）.
A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0
C.?x∈R，|x|+x2<0 D.?x∈R，|x|+x2≥0
2.写出”不论m取什么实数，关于x的方程x2+2mx+m2+1=0都无实数根“的否定
并判断其真假.
?
C
解：该命题的否定：存在实数m，使关于x的方程x2+2mx+m2+1=0有实数根
因为?=（2m)2 - 4(m2+1)=-4<0，所以x2+2mx+m2+1=0没有实数根
所以该命题的否定是个假命题
?
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二、存在量词命题的否定及其真假的判断
探究
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.
（1）有些梯形是等腰梯形
（2）?x>1，使x2-2x-3=0；
（3）存在无理数x，使x２也是无理数;
（4）至少有一个(x，y)，满足y=2x+1.
?
所有的梯形都不是等腰梯形
假命题
?x>1，使x2-2x-3≠0
?
假命题
真命题
真命题
?x∈{x|x是无理数}，x2 不是无理数
?
假命题
对所有(x,y)，都不满足y=2x+1
假命题
真命题
真命题
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
?p
真
假
假
真
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
真
假
假
真
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总结归纳
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
1.存在量词命题的形式是“?x∈M，p(x)”，其否定形式是先把存在量词改为全称量词，再对命题p(x)进行否定，即“?x∈M,?p(x)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题；
2.存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反. 要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
?
二、存在量词命题的否定及其真假的判断
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练一练
1.写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.
（1）存在正实数x,y，使x?+y2=0;
（2）有些能被5整除的整数末位是0；
（3）?x∈R，｜x｜-１≥１；
（4）至少有一个整数m，使得m２＋m为奇数.
?
真命题
真命题
假命题
对任意正实数x,y，x?+y2≠0
所有能被5整除的整数末位数都不是0
?x∈R，｜x｜-１<１
?
所有整数m，m?+m都是偶数
假命题
对于隐含了量词的命题的否定，应先补全量词，根据补全的量词对原命题进行改写，再进行否定.同时应把握每一个命题的含义，写出否定性时候最好结合它们的真假性（一真一假）进行验证.
二、存在量词命题的否定及其真假的判断
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三、利用全称量词命题、存在量词命题及其否定求参数
探究
1.已知命题P：?x∈R，mx2+1≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1>0，若p,q都是假命题，求m的取值范围。
解：∵命题P：?x∈R，mx2+1≤0；p是假命题
∴?p：?x∈R，mx2+1>0为真命题
当①m=0,成立，当②m<0,舍去，当③m>0时，?=-4m<0,mx2+1>0恒成立.
∴m>0符合
又∵命题q：?x∈R，x2+mx+1>0；q是假命题
∴?p：?x∈R，x2+mx+1>0为真命题
∴?≥0，解得：m≥2或m≤-2
综上所述，m≥2.
?
探究
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2.已知命题“?????∈????，?????????????????+????????????????>????”的否定为假命题，求实数???? 的
取值范围.
?
解：由“?????∈????，?????????????????+????????????????>???? ”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，
即不等式?????????????????+????????????????>????对任意实数???? 恒成立.
设????=?????????????????+????????????????，则其图象恒在???? 轴的上方.
故????=?????????????×????????????????????????，即实数????的取值范围为????>???????? .
?
三、利用全称量词命题、存在量词命题及其否定求参数
探究
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3.已知命题 ????： “ ?????∈[????,????] ， ????≥????+???? ”，命题 ????： “ ?????∈???? ，
????????????+????????+????=???? ”.若???? 的否定是假命题， ???? 是真命题，则实数 ???? 的取值范围
是 .
?
[????,????????????]
?
解： 若p 的否定是假命题，则 ???? 是真命题.
由 ?????∈[????,????] ， ????≥????+???? ，得 ????≥???? .
因为 ???? 是真命题，所以方程 ????????????+????????+????=???? 有实根，
所以 ????=?????????????????≥???? ，解得 ????≤???????????? .
综上，实数 ???? 的取值范围是 [????,????????????] .
?
三、利用全称量词命题、存在量词命题及其否定求参数
新知引入
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总结归纳
已知命题p为假时，一般转化为?p是真命题求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理的选择方法.
?
三、利用全称量词命题、存在量词命题及其否定求参数
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练一练
1.已知p：?x∈[－1，2]，x2－m≥0.若┐p为假命题，求实数m的取值范围.
解：∵?p为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立，
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0.
即实数m的取值范围是(－∞，0].
?
三、利用全称量词命题、存在量词命题及其否定求参数
练一练
2.（1）是否存在实数????，使不等式?????????????????+????+????>????对任意????∈???? 恒成立？说明理由．
（2）若存在一个实数????，使不等式?????????????+?????????????>????成立，求实数???? 的取值范围．
?
解：（1）不等式?????????????????+????+????>????可化为????>?????????+?????????????=?(?????????)????????? .
要使????>???????????????????对任意????∈????恒成立，只需????>????? 即可．
故存在实数????，使不等式?????????????????+????+????>????对任意????∈???? 恒成立，此时只需????>????? .
?
（2）不等式?????????????+?????????????>????可化为????>?????????????????+???? ，
若存在一个实数????，使不等式?????????????+?????????????>???? 成立，则只需????>?????????????????+???????????????? .
又?????????????????+????=?????????????+????，所以?????????????????+???? 的最小值为4，
所以????>????，所以实数????的取值范围是????>???? ．
?
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课堂小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}命题
命题的否定
结论
?????∈????，????(????)
?????∈????，?????(????)
全称量词命题的否定是存在量词命题.
?????∈????，????(????)
?????∈????，?????(????)
存在量词命题的否定是全称量词命题.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}命题
命题的否定
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题.
?????∈????，????(????)
存在量词命题的否定是全称量词命题.
1.全称量词命题和存在量词命题的否定
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
?p
真
假
假
真
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}p
真
假
假
真
2.全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断
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随堂练习
1.命题“存在x∈R，x<0”的否定是 (　　)
A．不存在x∈R，x≥0 B．存在x∈R，x≥0
C．对任意的x∈R，x<0 D．对任意的x∈R，x≥0
2.写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）?x∈R，x2-3x+2≤0；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）?x∈R，x2-1≥0.
?
D
有的矩形不是平行四边形 假命题
?x∈R，x2-3x+2>0 真命题
?
任意实数的绝对值都不是正数 假命题
?x∈R，x2-1<0 假命题
?
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随堂练习
4.已知命题????:”?x∈R，ax2+2x+1≠0“”为假命题，求实数a的取值范围.
?
解：∵命题“?????∈????，????????????+????????+????≠????”为假命题，
∴它的否定命题：“?????∈????，????????????+????????+????=????”为真命题.
即关于????的方程????????????+????????+????=????有实数根，
当????=????时，方程化为????????+????=????，显然有解；
当????≠????时，应满足?=?????????????≥????，解得????≤????且????≠????；
综上可知，实数????的取值范围是(?∞,????].
?
课时作业
作业
1.P39“练习”1，2，3；
2.P40“习题2.3”4，5.

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