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第1章 有理数（培优）
一、单选题
1．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（　　）
A． B． C． D．
2．将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（　　）
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
3．下列说法正确的有（　　）
①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或；
②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3；
③已知时，那么的最大值为7，最小值为；
④若且，则式子的值为；
⑤如果定义，当，，时，的值为．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　）
A．110种 B．132种 C．55种 D．66种
5．2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是(　　)
A．0 B．1
6．已知整数a、b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中|b|＜|a|＝|c|＜|d|，则下列各式：①a+b+c+d＞0，②b﹣a＝b+c，③ac＜dc，④ +﹣＝0，⑤ ＞﹣ ，其中一定成立的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，满足|a|＜|b|＜|c|，则|2a+c﹣b|﹣|a﹣c+b|+＝　 　．
8．康托尔集
1883年，康托尔构造的一个“分形”，称作康托尔集.从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段.无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称作康托尔集.
如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八阶段时，余下的所有线段的长度之和为　 　.
9．若一个四位数的千位与百位数字和的两倍等于其十位与个位数字的和，则称这个四位数为“伙伴数”．将“伙伴数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调后得到新数，且，则　 　．若四位数（，，，，为整数）为“伙伴数”，且能被8整除．令，则在所有满足条件的“伙伴数”中，当的值最小时，“伙伴数”的值为　 　．
10．对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则　 　．
11．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是　 　个单位.
12．在式子（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择m，n进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y，n进行第二轮“绝对操作”，得到，……，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有　 　种不同的结果；若对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有　 　种不同的结果．
三、计算题
13．计算：
（1）
（2）
（3）有个填写运算符号的游戏：在“ ”中的每个口内，填入 中的某一个(可重复使用)，然后计算结果
①算： .
② ，请在 内直接填出运算符号.
③“ ”中的口内填入符号后，使计算所得数最小，请在口内直接填出运算符号.
14． 计算：
15．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
16．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ，，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值．
（1）若小明依次输入 ，，，则最后输出的结果是多少？
（2）若将 ，，， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？
（3）若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值．
四、解答题
17．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为．
（1）若数轴的1个单位长度为．
①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度；
②求点A，B，C所表示的数的和；
（2）若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，．
①求x的值；
②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数；
③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值．
18．小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作．
（1）直接写出计算结果：
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①；
②；
③对于任何正整数n，都有 ；
④对于任何正整数n，都有．
（3）小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）．
19．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．
（1） ， ．
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？
（3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
2．【答案】C
【知识点】有理数的加法
3．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
4．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
5．【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
7．【答案】3a﹣2
【知识点】有理数的减法法则；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则
8．【答案】
【知识点】有理数乘方的实际应用
9．【答案】；2448
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
10．【答案】20
【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
11．【答案】50
【知识点】有理数的加、减混合运算
12．【答案】5；5
【知识点】化简含绝对值有理数
13．【答案】（1）解：
原式=
（2）解：
原式=
（3）解：①
解：原式
②∵ ，
∴1× ×6□9=-6，
∴3□9=-6，
∴□内的符号是“-”；
③运算符号为： ，
理由：∵在“1□2□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，
∴1□2□6的最小值是1-2×6=-11，
∴1□2□6-9的最小值是-11-9=-20，
∴这个最小数是-20．
故符号为：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算的实际应用；有理数混合运算法则（含乘方）
14．【答案】11106
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
16．【答案】（1）4
（2）最大值是 ，最小值是
（3）6
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
17．【答案】（1）①，215；②175
（2）①；②或；③4
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
18．【答案】（1）
（2）②
（3）
【知识点】有理数的乘方法则；有理数乘方的实际应用
19．【答案】（1），
（2）再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度
（3）正确，这个时间是0.625秒，定值是8单位长度
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离
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