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天津市滨海新区南开中学滨海生态城学校 2026届高三上学期期初适应
性训练数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}, = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. [ 1,0] B. 0,1,2,3 C. [0,3] D. 1,0
2.2 > 2 是 > 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3 3 3.函数 ( ) = 3| | 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.函数 ( ) = log 4 1 ( > 0，且 ≠ 1)恒过点( )
A. (1,0) B. (0,1) C. 12 , 0 D. 0,
1
2
5.下列命题中，真命题的是( )
A.若回归方程 = 0.45 + 0.6，则变量 与 正相关
B.线性回归分析中相关指数 2用来刻画回归的效果，若 2值越小，则模型的拟合效果越好
C.在独立性检验时，两个变量的 2 × 2 列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有
关系”成立的可能性就越大
D.一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为 0.7，则事件“至多击中一次”的概率为 0.3
6.命题“ ∈ [ 2,1]， 2 ≤ 0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. ≤ 14 B. ≤ 0 C. ≥ 6 D. ≥ 8
7.若log + log =
10
， 3 =
，则 =( )
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A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
1
8.已知 = log32, = log132, = e3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
9.已知随机变量 ～ (2,4)，则( )
A. ( ) = 4 B. (2 + 1) = 5 C. ( ) = 2 D. (2 + 1) = 8
10 > 0 > 0 4 + 1 = 0 1.已知 ， ，且 ，则 + 9 的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
11.设函数 ( ) = ( + )ln( + )，若 ( ) ≥ 0，则 2 + 2的最小值为( )
A. 18 B.
1
4 C.
1
2 D.
2
3
12.已知函数 ( ) = log2 + 1 的定义域为[1,2]， ( ) = 2( ) + 2 + ，若存在实数 ， ， ∈ =
( ) ，使得 + < ，则实数 的取值范围是( )
A. < 74 B. < 2 C. < 3 D. <
1
4
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13.函数 ( ) = log1( 2 3 + 2)的单调递增区间为 ．
2
14.甲、乙两名选手进行一场羽毛球比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，比
赛采取 7 局 4 胜制，则甲以 4: 1 获胜的概率为 ．
15.某体育局计划从某高校的 4 名男志愿者和 4 名女志愿者中选派 6 人参加志愿者培训，事件 表示选派的
6 人中至少有 3 名男志愿者，事件 表示选派的 6 人中恰好有 3 名女志愿者，则 ( ) = ．
16 2 1.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动的概率为3，向右移动的概率为3 .
若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 的位置，则 ( > 0) = ．
17.设实数 > 0，若对 ∈ (0, + ∞)，不等式 e ln ≥ 0 恒成立，则 的取值范围为 ．
18.已知幂函数 ( ) = 2 + 1 ( ∈ ) = ( ) = ( ) + 1是偶函数，则 ，设 ，若对于任
意 ( ∈ , ≠ 0)， 2 + ( ) ≤ 0，则实数 的最大值为 ．
19.已知函数 ( ) = e e + 2sin 是奇函数，则 = ；若 > 0, > 0，且 (2 ) + ( 2) = (0)，
1 + 2则 的最小值是 ．
20.若任意的 ∈ ， 4 + 4 + 2 2 + 2 ≤ 3 恒成立，则 + 2 的最大值等于 ．
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三、解答题：本题共 3 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有 8 个颜色大小相同的小球，
每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共 3 个，标有“哪”“吒”字样的小球共 5
个．每位观众将从容器中一次性抽取 2 个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合
为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽 3 个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个
“哪”，求他获奖的概率．
22.已知函数 ( ) = ln 3 22 ．
(1)若曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线垂直于直线 2 + = 0，求 的值；
(2)若函数 ( )有两个极值点 1， 2，且 1 < 2．
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ)证明： 1 2 > 1．
23.设函数 ( ) = + ln ( ∈ R).
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 = 1 且函数 = ( ) 2 + 有两个不同的零点 1， 2，且 1 < 2，
①求实数 的取值范围；
21+1
2
2+1②试比较 与1
的大小关系，并说明理由．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.( ∞,1)
14.0.20736
15. 811
16.1781
17. 1e , + ∞
18. 2
； 1
19.1
；4
20.32
21.(1)设标有“悟”字样的小球有 个，标有“哪”字样的小球有 个，
一位观众获一等奖为事件 ，获二等奖为事件 ，
C1C1 C1 C15
则由题意得 ( ) = 3 2 ， ( ) =C C2 ，8 8
2 C
1 1 1
所以
1C3 C C
2 =
5
2 ，2 (3 ) = (5 )C8 C8
因为 = 1 或 2；解得 = 1 或 4.所以标有“哪”字样的小球可能有 1 个或 4 个．
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C1(2) (1) 1C
1 1
由 知，某一位观众中二等奖的概率为 42 = ，设三位观众中二等奖的人数为 ，C8 7
1 3
则 ～ 3, 7 ， ( = 0) = 1
1 = 2167 343，
2
( = 1) = C1 × 13 7 × 1
1 108
7 = 343，
2
( = 2) = C2 × 1 1 183 7 × 1 7 = 343，
( = 3) = 1
3 1
7 = 343，
则 的分布列为
0 1 2 3
216 108 18 1
343 343 343 343
所以 ( ) = 3 × 17 =
3
7．
(3)①若有 1 个“哪”和 4 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的 2 个
小球，要么是组成“悟空”，或者是至少 1 个“吒”，
C1+C2+C1C1
此时获奖的概率为 = 2 4 4 3 = 20
C27 21
．
②若有 4 个“哪”和 1 个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的 2 个小
球，要么是组成“悟空”，或者是有 1 个“吒”，
C1 1 = 2+C6 = 8此时获奖的概率为
C27 21
．
22.(1)由题 ′( ) = 1 + ln 3 ，
因为曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线垂直于直线 2 + = 0，
1
所以 ′(1) = 1 3 = 2 =
1
6．
(2)(ⅰ)因为 ′( ) = 1 + ln 3 ，
因为函数 ( )有两个极值点 1、 2，所以 1 + ln 3 = 0 在(0, + ∞)上有两个不同的根，
所以函数 ( ) = 1 + ln 与 ( ) = 3 的图象在(0, + ∞)上有两个不同的交点，
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设直线 ( ) = 3 与曲线 ( ) = 1 + ln 相切于点 0, 1 + ln ， ′0 ( ) =
1
，
1
1 = 3 = 1
则切线斜率为 ，所以
0 0 ,
0 1 + ln 0 = 3 3 = 10
所以函数 ( ) = 1 + ln 与 ( ) = 3 的图象在(0, + ∞)上有两个不同的交点，
1
则 0 < 3 < 1 0 < < 3，
1
所以 的取值范围为 0, 3 ；
(ⅱ)证明：由题可得 1、 2是 1 + ln 3 = 0 的两根，且 0 < 1 < 2．
1 + ln 3 = 0 3 = ln 1 ln 2
所以 1 1 1 + ln 3 = 0 1 2 ,2 2 ln 1 + ln 2 = 3 1 + 2 2
1+1
ln 1 + ln =
ln 1 ln 2
2 × 1 + 2 2 =
2
1 ·ln
1 2，
1 2 1 22
令 = 1 ，则 ln 1 + ln =
+1 ·ln 2 = ( +1)ln 2 +22 1 1 , 0 < < 1，2
> 1 ln + ln > 0 ( +1)ln 2 +2所以要证明 1 2 即证 1 2 ，即证 1 > 0,0 < < 1，
即证 ( ) = ( + 1)ln 2 + 2 < 0,0 < < 1，
′( ) = ln + +1 2 = ln + 1 1 = ( ) ′( ) = 1 1 = 1因为 ，所以 2 2 < 0，
所以函数 ( )即 ′( )在(0,1)上单调递减，所以 ′( ) > ′(1) = 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，即 ( ) = ( + 1)ln 2 + 2 < 0,0 < < 1，
所以 1 2 > 1．
23.(1)函数 ( ) = + ln + 的定义域为(0, + ∞)，求导得 ′( ) = 1 + = ，
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当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，由 ′( ) < 0，得 ∈ (0, )；由 ′( ) > 0，得 ∈ ( , + ∞)，
函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
所以当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)①当 = 1 时， ( ) = + ln ，
函数 = ( ) 2 + = ln + 有两个不同的零点 1, 2，
等价于方程 ln + = 0 = ln 有两个不同的根 1, 2，
等价于函数 ( ) = ln 的图象与直线 = 有两个不同的交点，
求导得 ′( ) = 1 1 1 = ，当 0 < < 1 时，
′( ) < 0；当 > 1 时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增， ( )min = (1) = 1，
而当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( ) →+∞在，当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 的取范围为(1, + ∞)．
21+1 >
2
② 2
+1
，不妨令 0 < 1 < 2，1 2
2 21+1 > 2+1 1 1 1 1 + > 2 + ( 2 1)(1 ) < 0 0 < 1 2 < 1，1 2 1 2 1 2
由①知， 1 ln = ln

1 2 2，即 1 = 2 1ln ln ，而 0 < 1 2 < 1 0 < 1 2 < 1，2 1

只需证明 < 2 1，即证 ln 2 < 2 1 2 1 21 2 ln 2 1
=
1 2 1
，令 = > 1，
2 11
1
令 ( ) = 2ln + , > 1，求导得
′( ) = 2 1 1 = (1 1 )2 2 < 0，
函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减， ( ) < (1) = 0，即 ln 2 < 1 , > 1，
2+1 2+1
因此 ln 2 2 1 1 2 < ，所以 > ．1 1 2 1 2
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