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第五章　一元一次方程
5.1　等式与方程
1.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形.(重点)
2.明确方程的概念，能判断一个式子是否为方程.
3.能根据等式的基本性质将方程化为x＝a的形式.(难点)
学习目标
情境引入
我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”
思考：如何解决这个问题？
一、等式的基本性质
问题1　(1)对比天平与等式，你有什么发现？
提示　等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
(2)如图，观察天平左右两边，并完成其中的填空，图中的字母表示相应的物品的质量，两图中天平保持平衡.
提示　a　b　a＋c　b＋c　a　b　3a　3b
天平平衡时，天平左右两边放入相同质量的物体，天平仍然保持平衡.
你发现了什么规律？
知识梳理
等式的基本性质1：等式的两边加上(或减去)_________或____________，结果仍是等式.即如果a＝b，那么a±c＝______.
等式的基本性质2：等式的两边乘(或除以)__________(除数不等于__)，结果仍是等式.即如果a＝b，那么ac＝____.
同一个数
同一个整式
b±c
同一个数
0
bc
例1
下列根据等式的基本性质的变形中，错误的是
A.若，则x＝y
B.若x＝y，则ax－c＝ay－c
C.若x－a＝y－a，则x＝y
D.若cx＝cy，则x＝y
解析　若cx＝cy，当c≠0时，则x＝y，计算错误，D符合题意.
√
跟踪训练1
(1)若x＝y，根据等式的基本性质，下列变形正确的是
A.x＝－y B.
C.＝1 D.x－3＝y＋2
解析　若x＝y，两边同乘x＝y，则A不符合题意；
若x＝y，两边同乘，则B符合题意；
若x＝y，当x，y均不为0时，＝1，则C不符合题意；
若x＝y，两边同时减去3，得x－3＝y－3，则D不符合题意.
√
(2)如图所示，等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是
解析　观察图形，使等式a＝b的两边都加c，得到a＋c＝b＋c，利用等式的基本性质1，所以成立.
A.如果a＝b，那么ac＝bc
B.如果a＝b，那么a－c＝b－c
C.如果a＝b，那么a＋c＝b＋c
D.如果a＝b，那么a2＝b2
√
(3)如果a＝b，那么成立时c应满足的条件是　　　.
解析　因为c－1≠0，
所以c≠1.
c≠1
二、根据等式的基本性质将方程化
　　为x＝a的形式
问题2　什么叫方程？下列各式中，①－2＋5＝3；②3x－1＝7；③m＝0；④x＋1≥3；⑤x＋y＝8；⑥2x2－5x＋1＝0；⑦2a＋b；⑧＝3x，方程有　　　 　　.
②③⑤⑥⑧
问题3　(1)怎样从等式 3＋x＝1 得到等式x＝－2？
提示　依据等式的基本性质1，两边同时减3.
(2)怎样从等式 4x＝12 得到等式x＝3？
提示　依据等式的基本性质2，两边同时除以4.
知识梳理
含有未知数的等式叫作方程.
利用等式的基本性质，把下列方程化为x＝a的形式.
(1)3x＋7＝－2；
例2
解　两边减7，得3x＋7－7＝－2－7.
化简，得3x＝－9.
两边除以3，得x＝－3.
(2)－－1＝2.
解　两边加1，得－－1＋1＝2＋1.
化简，得－＝3.
两边乘－2，得x＝－6.
跟踪训练2
(1)下列方程的变形中，正确的是
A.由5x＋2＝3x－1，得5x＋3x＝2－1
B.由＝0，得y＝3
C.由－1＝1，得x－4＝1
D.由－x＝8，得x＝－10
解析　A项，由5x＋2＝3x－1，得5x－3x＝－2－1，则A选项错误；
B项，由＝0，得y＝0，则B选项错误；
C项，由－1＝1，得x－4＝4，则C选项错误；
D项，由－x＝8，得x＝－10，则D选项正确.
√
(2)根据等式的基本性质，把下列方程化为x＝a的形式.
①x－3＝－11；
解　两边都加上3，得x－3＋3＝－11＋3.
所以x＝－11＋3.
即x＝－8.
②2x＋4＝10.
解　两边都减去4，得2x＋4－4＝10－4.
所以2x＝6.
两边同时除以2，得2x÷2＝6÷2.
即x＝3.
(3)利用等式的基本性质，把方程2(t－3)＋3＝1化为x＝a的形式.
解　2(t－3)＋3＝1，
两边同时减去3，得2(t－3)＋3－3＝1－3，
2(t－3)＝－2，
两边同时除以2，得t－3＝－1，
两边同时加上3，得t＝－1＋3，
即t＝2.
1.(2025·河北廊坊香河县期末)下列说法错误的是
A.若a＝b，则ac＝bc
B.若a－2c＝b－2c，则a＝b
C.若ac＝bc，则a＝b
D.若a＝b，则
√
解析　根据等式的基本性质2，将a＝b的两边同时乘c，得ac＝bc，
所以A正确，不符合题意；
根据等式的基本性质1，将a－2c＝b－2c的两边同时加2c，得a＝b，
所以B正确，不符合题意；
根据等式的基本性质2，若c≠0，将ac＝bc的两边同时除以c，得a＝b，
若c＝0，a＝b不一定成立，
所以C错误，符合题意；
根据等式的基本性质2，将a＝b的两边同时除以c2＋1，得，
所以D正确，不符合题意.
2.(2025·河北衡水模拟)观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的
A.8倍 B.6倍 C.4倍 D.2倍
√
解析　设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，
由题意x＋9y＝3x＋y，所以x＝4y，
所以一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍.
3.下列各式是方程的是　　　 　.(填序号)
①7－8y；②3t2＋4t－4；③4＋6＝10；④2y＋1＝x－2；⑤y＝4；⑥2z>3；⑦4x＝7；⑧＝6y－9.
解析　①7－8y不是等式，故不是方程；②3t2＋4t－4不是等式，故不是方程；③4＋6＝10是等式不是方程；④2y＋1＝x－2是方程；⑤y＝4是方程；⑥2z>3不是等式，故不是方程；⑦4x＝7是方程；⑧＝6y－9是方程.故是方程的有④⑤⑦⑧.
④⑤⑦⑧
4.用等式的基本性质解下列方程：
(1)4x－7＝13；
解　4x－7＝13，
方程两边都加上7，得4x＝20，
方程两边都除以4，得x＝5.
(2)3x＋2＝x＋1.
解　3x＋2＝x＋1，
方程两边都减去x，得3x＋2－x＝x＋1－x，
即2x＋2＝1，
方程两边都减去2，得2x＋2－2＝1－2，
即2x＝－1，
方程两边都除以2，得，
得x＝－.
本课结束

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