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第五章　一元一次方程
5.2　一元一次方程
1.理解方程的解和一元一次方程的概念.(重点)
2.能够判断方程的解和一元一次方程的解.(难点)
学习目标
情境引入
已知甲、乙两村相距18 km，小明骑自行车从甲村出发到乙村，行驶的速度是12 km/h.当小明骑行的时间为t h时，距乙村还有3 km，由此得到方程12t＋3＝18.
在求解含有等量关系的问题中，有时需要先用字母表示未知量，再利用等量关系建立方程来解决问题.
一、方程的解
问题1　(1)一张长方形纸片的周长为20 cm，面积为24 cm2.设长方形的长为x cm，请根据题意列出方程；
提示　x(10－x)＝24.
(2)某市为创建优美宜居城市，计划经过若干年使城区绿化总面积增加360 万平方米.自2020 年初开始实施计划后，实际每年新增绿化面积是原计划的1.25倍，这样可提前2 年完成任务.设原计划每年新增绿化面积为x 万平方米，请根据题意列出方程.
提示　＋2.
问题2　“情境引入”得到的方程12t＋3＝18，给出几个t的值，代入并判断等式的左边和右边是否相等，找出令方程左右两边相等的t的值.
提示　当t＝时，方程左右两边相等.
知识梳理
1.使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
2.判断一个数值是不是方程的解的一般步骤：
例1
检验下列方程后面未知数的值是否为相应方程的解.
(1)2x＋5＝10x－3，x＝1；
解　当x＝1时，左边＝2×1＋5＝2＋5＝7，
右边＝10×1－3＝10－3＝7，
左边＝右边，
所以x＝1是方程的解.
(2)2(x－1)－(x＋1)＝3(x＋1)－(x－1)，x＝0.
解　当x＝0时，左边＝2×(0－1)－×(0＋1)＝－2－＝－，
右边＝3×(0＋1)－×(0－1)＝3＋，
左边≠右边，
所以x＝0不是此方程的解.
跟踪训练1
(1)如果x＝3，则下列等式中不正确的是
A.x＋2＝3＋2 B.
C.x－1＝3＋1 D.－x＝－3
解析　当x＝3时，方程x＋2＝3＋2的左边＝3＋2＝5＝右边，故A正确，不符合题意；
当x＝3时，方程的左边＝＝右边，故B正确，不符合题意；
当x＝3时，方程x－1＝3＋1的左边＝2≠右边，故C错误，符合题意；
当x＝3时，方程－x＝－3的左边＝－3＝右边，故D正确，不符合题意.
√
(2)x＝60是方程x2＝4 000的解吗？x＝80呢？
解　当x＝60时，
方程左边＝×602＝2 250，
右边＝4 000，左边≠右边，所以x＝60不是此方程的解；
当x＝80时，
方程左边＝×802＝4 000，
右边＝4 000，左边＝右边，所以x＝80是此方程的解.
二、一元一次方程
问题3　观察下列式子：
1－，2x＋18，4x－3＝1，x2＋1＝10x，6－x>3，y＝xy＋9.
(1)请判断哪些式子是方程，哪些不是方程，为什么？
提示　4x－3＝1，x2＋1＝10x，y＝xy＋9是方程，其他的不是.
含有未知数的等式叫作方程，其他的式子不符合.
(2)请思考每个方程所含未知数的个数与所含未知数的项的次数分别是多少？
提示　4x－3＝1含一个未知数，含未知数的项的次数是1；
x2＋1＝10x含一个未知数，x2项的次数是2，10x项的次数是1；
y＝xy＋9含两个未知数，xy项的次数是2，y项的次数是1.
知识梳理
一元一次方程的概念
方程中，只含有______未知数(也称元)，并且未知数的次数是___，我们把这样的方程叫作一元一次方程.
能使一元一次方程两边______的未知数的值，叫作一元一次方程的解.
注意点：一元一次方程中的“元”是指未知数，“一元”是指只含有一个未知数；“一次”是指含未知数的项的次数都是1.
一个
1
相等
(1)下列方程是一元一次方程的是
A.－x＝1 B.x2＋2x＋1＝0
C.x＋＝3 D.1－＝y
例2
√
解析　－x＝1，分母含未知数x，不符合一元一次方程的定义，故A选项
不符合题意；
x2＋2x＋1＝0，未知数x的最高次数为2，不是一元一次方程，故B选项不符合题意；
x＋＝3，符合一元一次方程的定义，C选项符合题意；
1－＝y，含两个未知数x和y，不是一元一次方程，故D选项不符合题意.
(2)已知x＝2是关于x的一元一次方程3x＋a＝0的一个解，则a的值是
A.－6 B.－3 C.－4 D.－5
√
解析　把x＝2代入方程得6＋a＝0，
解得a＝－6.
跟踪训练2
(1)下列四个方程中，属于一元一次方程的是
A.2x＝4 B.x＋y＝2
C.x＋＝2 D.x＋1＝x2
解析　2x＝4是一元一次方程，A符合题意；
x＋y＝2含有两个未知数，不是一元一次方程，B不符合题意；
x＋＝2不是一元一次方程，C不符合题意；
x＋1＝x2未知数的次数是2，不是一元一次方程，D不符合题意.
√
(2)在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班的一半多10.设乙班植树x棵.
①列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数；
解　根据甲班植树的棵数比乙班多20%，
得甲班植树的棵数为x；
根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10，
得甲班植树的棵数为2.
②根据题意列出含未知数x的方程；
解　根据题意可得x＝2.
③检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25和35.
解　把x＝25分别代入②中方程的左边和右边，
得左边＝×25＝30，
右边＝2×＝30，
因为左边＝右边，
所以x＝25是方程x＝2的解，
即乙班植树的棵数是25.
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30，而不是35.
1.(2025·河北沧州任丘市期末)下列方程中，是一元一次方程的是
A.x2－4＝3x B.2y＝1－x
C.3x－4＝x D.xy－3＝5
√
解析　x2－4＝3x中未知数的最高次数为2，则A不符合题意；
2y＝1－x中含有两个未知数，则B不符合题意；
3x－4＝x符合一元一次方程的定义，则C符合题意；
xy－3＝5中含有两个未知数，且含有未知项的次数为2，则D不符合题意.
2.若关于x的方程mxm-2－m＋3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是
A.x＝0 B.x＝3
C.x＝－3 D.x＝2
√
解析　由一元一次方程的特点得m－2＝1，即m＝3，
则这个方程是3x＝0，
解得x＝0.
3.(2025·河北张家口桥西区期末)若□＋x＝0是一元一次方程，则“□”可以为
A.x2 B.y C.2 D.
4.若(m－3)x|m-2|＋6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　　.
解析　由题意得
|m－2|＝1且m－3≠0，
所以m＝3或1且m≠3，
所以m＝1.
√
1
5. x＝2是方程ax－4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax－5＝3x－4a的解.
解　x＝3不是方程2ax－5＝3x－4a的解，理由：
因为x＝2是方程ax－4＝0的解，
所以把x＝2代入得2a－4＝0，
解得a＝2.
将a＝2代入方程2ax－5＝3x－4a，得4x－5＝3x－8，
将x＝3代入该方程左边，左边＝7，
代入右边，右边＝1，
因为左边≠右边，
所以x＝3不是方程4x－5＝3x－8的解.
本课结束

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