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第五章　一元一次方程
5.4　一元一次方程的应用(1)
1.利用一元一次方程解决和、差、倍、分问题.(重点)
2.学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，列出一元一次方程.(难点)
学习目标
一、和、差、倍、分问题
问题　我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这是著名趣题之一.
问题解决：针对上面问题，请用列算式与列方程两种不同的方法解答该问题.
提示　列算式解法：
每只兔子先算2只足(与鸡的足数凑齐)，
此时兔子和鸡的足数共有2×35＝70.
由于每只兔子少算了2只足，总共少算的足数为94－70＝24，
所以兔子数为24÷2＝12，鸡数为35－12＝23.
即鸡有23只，兔子有12只.
列方程解法：
设鸡有x只，那么兔子有(35－x)只.
因为鸡的足数＋兔的足数＝94，
所以2x＋4(35－x)＝94.
解这个方程，得x＝23.
从而35－x＝12.
即鸡有23只，兔子有12只.
例1
杭州第19届亚运会(The 19th Asian Games Hangzhou)是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.
亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个.请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？
请回答下列问题：
(1)能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目的个数吗？
解　3×[(40－4)÷4]＋4＝31.
即能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目的个数，个数为31.
(2)如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？
解　设非奥运项目的个数为x.
(3)根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？
解　根据奥运项目和非奥运项目的总数为40，来列相等关系.设非奥运项目的个数为x，则奥运项目的个数为3x＋4，由题意可得x＋(3x＋4)＝40，解得x＝9，故此方程的解为x＝9，即可得奥运项目的个数为3x＋4＝31.
跟踪训练1
(1)某学校今年艺术单项比赛共有a人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3，则去年参加比赛的人数为
A.
B.
C.(1＋20%)a－3
D.(1＋20%)a＋3
√
解　设去年参赛的人数为x，
则x(1＋20%)＋3＝a，
解得x＝，
则去年参赛的人数为.
(2)在北京2022年冬奥会上，中国代表团共获得15枚奖牌，其中金牌比银牌多5枚、银牌比铜牌多2枚.中国代表团一共获得多少枚金牌？
解　设获得铜牌x枚，则获得银牌(x＋2)枚，获得金牌(x＋2＋5)枚，
由题意可得x＋(x＋2)＋(x＋2＋5)＝15，
解得x＝2，
所以x＋2＋5＝9，
即中国代表团一共获得9枚金牌.
(3)某文艺团体的一次户外音乐节演出，共售出1 000张票，共得票款72 500元，若成人票每张80元，学生票每张50元，那么成人票和学生票各售出多少张？
解　设售出成人票x张，则售出学生票(1 000－x)张，
根据题意可列方程80x＋50(1 000－x)＝72 500，
解得x＝750，
则1 000－x＝1 000－750＝250，
即售出成人票750张，学生票250张.
二、数字年龄问题
父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁.当你像我这么大时，我就79岁了.”试问现在父亲多少岁？
例2
解　设现在父亲x岁，
由题意可得x－(79－x)＝4＋(79－x)，
解得x＝54，
即现在父亲54岁.
跟踪训练2
(1)女儿今年(2025年)12岁.妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60岁喽！”妈妈12岁时，是
A.2000年 B.2001年
C.2002年 D.2003年
√
解析　设x年后妈妈60岁，由题意得
12＋x＝60－x，
解得x＝24，
所以妈妈现在36岁，妈妈12岁时，是2001年.
(2)(2025·河北保定莲池区模拟)一个两位小数，若把它的小数点去掉，就比原数多1.98，原来这个小数是　　　.
解析　设原来这个小数为x，
由题意可得100x－x＝1.98，
解得x＝0.02，
即这个两位小数为0.02.
0.02
1.等量关系：
(1)总量＝各分量之和.
(2)表示同一个量的两个不同的式子相等.
2.
1.根据“x与7的和比x与3的差的4倍少2”，可列出方程
A.x＋7＝4(x－3)－2
B.4(x＋7)＝(x－3)－2
C.x＋7＝4(x－3)＋2
D.4(x＋7)＝(x－3)＋2
√
2.(2025·河北邢台信都区期末)龟和鹤都是长寿的动物，龟和鹤在一起的寓意是龟鹤齐龄、龟鹤延年.如图，王爷爷和李奶奶正在讨论一幅龟鹤延年的画，你能帮忙算一下龟、鹤各多少只吗？
琪琪的做法是：设鹤有x只，则可列方程为4x＋2(26－x)＝76；
亮亮的做法是：设鹤的腿有y条，则可列方程为＝26.
关于这两位同学的做法，你认为
A.只有琪琪正确
B.只有亮亮正确
C.琪琪和亮亮都正确
D.琪琪和亮亮都错误
√
解析　根据琪琪的做法可得，
设鹤有x只，则龟有(26－x)只，
所以根据题意列方程为2x＋4(26－x)＝76，
所以琪琪的做法错误；
根据亮亮的做法可得，
设鹤的腿有y条，则龟的腿有(76－y)只，
所以根据题意列方程为＝26，
所以亮亮的做法正确.
3.把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，最后得到的数是这个三位数的55倍，这个三位数是　 　.
解析　设这个三位数是x，
根据题意得5×1 000＋x＋400＝55x，
解得x＝100，
所以这个三位数是100.
100
4.翔宇两天看完一本书，第一天看了全书的多30页，第二天看的比全书
少48页，这本书共有多少页？
解　设这本书共有x页，
根据题意得x＋30＋(x－48)＝x，
解得x＝54，
所以这本书共有54页.
5.如图1，已知高度为60 cm的圆柱形玻璃容器内水面的高度为20 cm.现有体积分别相等的大球、小球若干个.
解　由题意可知，放入5个小球后水面升高25－20＝5(cm).
所以放入一个小球水面升高5÷5＝1(cm).
(1)如图2，已知在容器内放入5个小球后，容器内水面的高度为25 cm，那么在容器内放入1个小球，水面会升高　　cm；
(2)在容器内放入1个大球，水面可升高2 cm.如果在图1所示的容器内放入大球、小球共18个，水面上升到46 cm，那么应该放入小球多少个？
解　设放入大球x个，则放入小球(18－x)个，
由题意可得2x＋(18－x)×1＝46－20，
解得x＝8，则18－x＝18－8＝10，
即应放入小球10个.
本课结束

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