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第五章　一元一次方程
5.4　一元一次方程的应用(3)
1.分析追及、盈余不足及等体积变形问题中的数量关系，列出方程.(重点、难点)
2.掌握利用一元一次方程解决实际问题的方式方法，培养分析问题、解决问题的能力.(重点)
学习目标
情境引入
某学校七年级师生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行，那么小王要用多长时间才能追上队伍？此时，队伍已行走了多远？
小明和大刚的部分解答过程如下：
小明
解：设小王要用x h才能追上队伍，这时队伍行走的时间为h.
依题意，得12x＝4.
情境引入
大刚
解：设此时队伍行走的路程为y km.
依题意，得
.
(1)请解释方程12x＝4与所表示的意义；
(2)分别完成他们的解答过程；
(3)在解决这类问题时应注意什么？
一、追及问题
例1
某校组织七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学游活动.小李因事迟到了10分钟才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了30分钟在路上追上了大客车.已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多20千米，分别求大客车、小汽车的速度.
解　设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为(x＋20)千米/小时，
由题意可得(x＋20)＝x，
解得x＝60，
x＋20＝60＋20＝80，
所以大客车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为80千米/小时.
跟踪训练1
(1)猎狗发现前方10米处有一只奔跑着的兔子，马上去追.已知兔子9步的距离相当于猎狗5步的距离，猎狗跑5步的时间兔子能跑3步.问：猎狗追上兔子时，共跑了　　米.
解析　设猎狗追上兔子时，共跑了x米，兔子的速度为1，则猎狗的速度为3，
根据题意得，
解得x＝15，
所以猎狗追上兔子时，共跑了15米.
15
(2)从时针指向5点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合？
解　因为分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，
所以可设再经过x分钟，时针与分针重合.
又因为5点时，时针与分针夹角为150°，
所以6x＝150＋0.5x.
所以x＝.
所以再经过 分钟，时针与分针重合.
二、盈余不足问题
问题1　某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克.如果每公顷施肥400千克，则余下化肥800千克；若每公顷施肥500千克，则缺少化肥300千克.那么，这块麦田的面积是多少公顷？现有化肥多少千克？
提示　设这块麦田的面积是x公顷.依题意，得
400x＋800＝500x－300.
解得x＝11.
现有化肥为400x＋800＝5 200(千克).
所以这块麦田的面积是11公顷，现有化肥5 200千克.
上面问题，如果设现有化肥y千克，请列出方程并求解.
例2
解　设现有化肥y千克.依题意，得
，
解得y＝5 200.
麦田面积为(5 200－800)÷400＝11(公顷).
所以这块麦田的面积是11公顷，现有化肥5 200千克.
跟踪训练2
(1)一根绳子，围着一棵大树，如果绕10圈则剩3米，如果绕12圈又缺3米，那么绕8圈剩
A.9米 B.6米
C.12米 D.15米
√
解析　设树一圈x米，
根据题意得10x＋3＝12x－3，
解得x＝3，
所以绳子长为10×3＋3＝33(米)，
所以绕8圈剩下33－8×3＝9(米).
(2)七年级某班举行了一次集邮展览，展出的邮票总数比平均每人3枚多24枚，比平均每人4枚少26枚，这个班共展出多少枚邮票？
解　设这个班级共x人，根据题意得
3x＋24＝4x－26，
解得x＝50，
3×50＋24＝174(枚)，
所以这个班级共展出174枚邮票.
三、等积变形的问题
问题2　从一个水杯向另一个水杯倒水.
提示　变高了，变窄了(高度和底面半径发生了变化)，水的体积和质量没变.
在这个过程中哪些量发生了变化？什么没有发生变化？
好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为16 cm，高为30 cm的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为8 cm的10个小圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满)，与好友分享，请你帮他计算杯子的高度.
例3
解　设杯子的高度为x cm，
根据题意，得10π··x＝π××30，
解得x＝12，
即杯子的高度是12 cm.
体积不变的问题，形状不同而体积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的体积公式，如长方体、圆柱的体积公式.
反思感悟
跟踪训练3
(1)要锻造一个直径为8 cm，高为4 cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4 cm的圆钢的高为
A.12 cm B.16 cm C.24 cm D.32 cm
√
(2)如图，一个长方体玻璃容器的内底面长为8 cm，宽为6 cm，高为16 cm，容器内水的高度为2 cm，现把一块边长为4 cm的立方体金属块放入水中，问容器内的水将升高多少？
解　设容器内的水将升高x cm，
根据题意得6×8×2＋4×4×(2＋x)＝6×8×(x＋2)，
所以96＋32＋16x＝48x＋96，
解得x＝1.
所以容器内的水将升高1 cm.
1.如图，一个瓶子的容积是2 L(1 L＝1 000 cm3)，瓶内装着一些水.当瓶子正放时，瓶内的水高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm，则瓶子的底面积为
A.50 cm2 B.80 cm2
C.100 cm2 D.200 cm2
√
解析　设瓶子的底面积为x cm2，
由题意可得20x＝2 000－5x，
解得x＝80，
即瓶子的底面积为80 cm2.
厚度，则根据图中的数据，隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为
A.42厘米 B.43.5厘米
C.45厘米 D.60厘米
2.如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米、50厘米，将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板
√
解析　设长方体的宽为x厘米，抽出隔板后水面高度为h厘米，长方体的长为130＋70＝200(厘米)，
由题意可得，40×130x＋70×50x＝200x·h，
解得h＝43.5，
即抽出隔板后的水面高度为43.5厘米.
3.(2025·河北邯郸魏县期末)某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？
解　设敬老院一共有x位老人，
根据题意得3x＋12＝4x－24，
解得x＝36.
即敬老院一共有36位老人.
4.A，B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车也从A地去B地.已知甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶28千米.
(1)乙出发后 　小时追上甲；
解　设乙出发后x小时追上甲，
由题意得12(x＋1)＝28x，
解得x＝，
即乙出发后 小时追上甲.
(2)若乙到达B地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时，距乙出发多长时间？
解　设在返回路上与甲相遇时，距乙出发y小时，
由题意得12(y＋1)＋28y＝31×2，
解得y＝，
即在返回路上与甲相遇时，距乙出发 小时.
本课结束

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