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第五章　一元一次方程
5.4　一元一次方程的应用(4)
1.理解增长率、利率、利润率中常用的等量关系.(重点)
2.根据增长率、利率、利润率问题中的等量关系列一元一次方程解决实际问题.(难点)
学习目标
情境引入
某企业2022年的生产总值为95 930万元，比2021年增长了7.3%. 2021年该企业的生产总值为多少万元？(精确到1万元)
(1)请找出本题中的等量关系；
2021年的生产总值 2022年增长的产值 2022年的生产总值
x 95 930
(3)请列出方程并求解.
(2)设该企业2021年的生产总值为x万元，请将表格补充完整；
一、利率、增长率(变化率)问题
问题　某3年期国债的年利率为2.8%，这期国债发行时，3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元，那么这笔钱是多少元？(提示：利息＝本金×年利率×年数)
提示　设这笔钱是x元，依题意，得
x×3.0%×3－x×2.8%×3＝48，
解得x＝8 000，
所以这笔钱是8 000元.
例1
自动驾驶汽车是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车，某出租车公司拟在今明两年共投资6 000万元改造220辆自动驾驶出租车投放市场.今年每辆自动驾驶出租车的改造费用是30万元，预计明年每辆自动驾驶出租车的改造费用可下降40%.求今年改造的自动驾驶出租车的数量.
解　设今年改造的自动驾驶出租车是x辆，则明年改造的自动驾驶出租车是(220－x)辆，依题意得30x＋30×(1－40%)(220－x)＝6 000，
解得x＝170，
即今年改造的自动驾驶出租车是170辆.
在变化率问题中，最为常见的数量关系是增长后的数＝增长前的数×(1＋增长率)；降低后的数＝降低前的数×(1－降低率).注意：解此类问题时，要特别分清是“增长了”还是“增长到”，不要将两者混淆.
反思感悟
跟踪训练1
(1)小明去银行存入本金1 000元作为一年期的定期储蓄，到期后小明共取了1 017.5元，则一年期储蓄的利率为
A.1.75% B.4.5%
C.17.5% D.45%
解析　设一年期储蓄的利率为x，根据题意列方程得1 000＋1 000x＝
1 017.5，解得x＝0.017 5＝1.75%，所以一年期储蓄的利率为1.75%.
√
(2)某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台.改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器554台，其中甲种机器产量要比第一季度增加10%，乙种机器产量要比第一季度增加20%，则该厂第一季度生产的甲种机器比乙种机器少　　台.
解析　设该厂第一季度生产甲种机器x台，则生产乙种机器(480－x)台，依题意，得(1＋10%)x＋(1＋20%)(480－x)＝554，解得x＝220，则480－x＝260.故该厂第一季度生产的甲种机器比乙种机器少260－220＝40(台).
40
二、销售利润率问题
某商场因换季清仓，对某件标价为200元的服装进行打折销售，若按标价打8折，再降价10元销售，仍可获利25%，求这件服装的进价.
例2
解　设这件服装的进价为x元，
200×80%－10－x＝25%x，
解得x＝120，
即这件服装的进价为120元.
跟踪训练2
某商场在出售一批衬衫，每件提价25%后发现销量不是很好，欲恢复原价，则每件衬衫应降价百分之多少？
解　设每件衬衫原价为1，欲恢复原价，则每件衬衫应降价x%，
根据题意得1×(1＋25%)×(1－x%)＝1，
解得x＝20.
即欲恢复原价，则每件衬衫应降价20%.
1.百分率问题中常用的公式：
(1)储蓄问题：利息＝本金×利率×期数，
本息＝本金＋利息；
(2)增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量，
原量×(1－减少率)＝减少后的量；
(3)浓度问题：浓度＝溶质质量÷溶液质量×100%.
2.商品销售中的等量关系：
利润率＝利润/进价×100%；
打x折后的售价＝标价×x/10；
售价＝进价×(1＋利润率)；
利润＝售价－进价；
利润＝进价×利润率.
1.爸爸有3 000元，购买了3年期国债，年利率4%，3年后可得利息
A.3 360元 B.3 135元
C.360元 D.120元
√
解析　3 000×4%×3
＝120×3
＝360(元).
2.某商品标价为x元，若打八折后再降价12元，售价为108元，则可列方程为
A.x－0.8x－12＝108
B.0.08x－12＝108
C.0.8x－12＝108
D.108－0.8x＝12
√
3.(2025·河北邯郸临漳县期末)某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打　　折.
解析　设可打x折，
由题意得150×－100＝100×20%，
解得x＝8，
所以为保证获得20%利润率，则要打八折.
八
4.书店在线上、线下同时销售某畅销书，线上每本的售价比线下优惠20%，某天该书店线上销售该畅销书120本，线下销售80本，线上的销售额比线下多800元.求该畅销书线下销售时每本的售价.
解　设该畅销书线下每本的售价为x元，则线上每本的售价为(1－20%)x元.
由题意，得120×(1－20%)x－80x＝800，
解得x＝50.
所以该畅销书线下销售时每本的售价为50元.
本课结束

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