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第五章　一元一次方程
5.4　一元一次方程的应用(5)
1.通过分析几何图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.解决分段计费问题，增强模型观念.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.(重点、难点)
学习目标
情境引入
将一张长和宽分别为40 cm，30 cm的长方形薄纸板沿图1中的实线剪开，再按虚线折叠，恰好折叠成图2所示的长方体盒子.如果这个盒子的宽∶高＝4∶1，那么这个长方体盒子的体积是多少？
一、几何问题
例1
如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长35 m的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多5 m，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由.
解　设计的长边不符合实际情况，理由如下：
设养鸡场的长为x m，宽为(x－5)m，
由题意得x＋2(x－5)＝35，
解得x＝15，
因为15>14，
所以设计的长边不符合实际情况.
跟踪训练1
(1)如图，在周长为18 m的长方形窗户上钉一块宽为3 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一个正方形，则钉好后透光面积为
A.4 m2 B.25 m2
C.16 m2 D.9 m2
解析　设长方形窗户的长为x m，则宽为－x＝(9－x)m，
由题意得x－3＝9－x，
解得x＝6，
所以长方形窗户的宽为9－x＝3(m)，
所以钉好后透光面积为3×3＝9(m2).
√
(2)如图，点B，D在线段AC上，且BD＝AB＝CD，点E，F分别是AB，CD的中点，EF＝14 cm，求AB的长.
解　设BD＝x cm，则AB＝4x cm，CD＝5x cm，
因为线段AB，CD的中点分别是E，F，
所以BE＝AB＝2x(cm)，DF＝CD＝2.5x(cm)，
因为EF＝EB＋DF－DB，
所以2x＋2.5x－x＝14，
解得x＝4，
所以AB＝4×4＝16(cm).
二、分段计费问题
为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如表：
例2
档次 每户每月用电量(千瓦·时) 执行电价[元/(千瓦·时)]
第一档 小于或等于240 0.5
第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6
第三档 大于400时，超出400的部分 0.8
某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元.已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时.那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？
解　依题意可知，6月、7月的用电量不可能都在第一档.若6月、7月的用电量都在第二档，则这两个月用电的总费用为
240×0.5＋240×0.5＋40×0.6＝264(元)≠268元.
故6月、7月的用电量也不可能都在第二档.又因为7月的用电量大于6月的，所以6月的用电量应在第一档，7月的用电量应在第二档.
设6月的用电量为x千瓦·时，则7月的用电量为(520－x)千瓦·时.
依题意，得
0.5x＋240×0.5＋(520－x－240)×0.6＝268.
解得x＝200.
520－x＝320.
即该用户6月的用电量为200千瓦·时，7月的用电量为320千瓦·时.
跟踪训练2
(2025·河北张家口万全区期末)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如表.
价目表
(1)某户居民1月份用水5.5 m3，试求1月份的水费为多少元？
解　根据题意得2×5.5＝11(元).
即1月份的水费为11元.
每月用水量 价格
不超出6 m3的部分 2元/m3
超过6 m3不超过10 m3的部分 4元/m3
超出10 m3的部分 8元/m3
(2)若某户居民某月用水x m3，则用含x的代数式表示该月所用的水费：
当x≤6时，水费为 　　元；
当6当x>10时，水费为　　　　　元；
解　根据题意得，当x≤6时，水费为2x元；
当6当x>10时，水费为2×6＋4×(10－6)＋8(x－10)＝(8x－52)元.
(3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？
解　设该户居民5月份实际用水y m3，
因为2×6＝12(元)，2×6＋4×(10－6)＝28(元)，12<22<28，
所以6根据题意得2×6＋4(y－6)＝22，
解得y＝8.5.
即该户居民5月份实际用水8.5 m3.
1.现有一把无刻度的直尺和四块完全一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是
A.15 cm B.20 cm C.10 cm D.25 cm
解析　设长方形纸片的宽为x cm，则长为2x cm，
根据题意，得2x×4－1＝2x＋2×2x＋3，
解得x＝2，
所以直尺的长度是8x－1＝8×2－1＝15(cm).
√
2.某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本1.5元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种.方式一：每本优惠售价为1.4元；方式二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本，则超过部分按定价的八折销售.设该班购买作业本的数量为x(x>50).当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为
A.75本 B.50本
C.150本 D.100本
√
解析　根据题意得1.4x＝1.5×50＋1.5×0.8(x－50)，
解得x＝75，
所以当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为75本.
3.水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按1.5元/立方米收费.如果某户居民在某月所交水费50元，那么该户这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，可列方程为　 　　　　　　　　.
解析　因为20×1.2＝24(元)，24<50，
所以该居民用水超过20立方米，
根据居民在某月所交水费50元，
可得20×1.2＋1.5(x－20)＝50.
20×1.2＋1.5(x－20)＝50
4.两个完全相同的长方形按如图所示的方式摆放成“L”形，则每个长方形的面积为　　.
解析　设长方形的宽为x，由题意可得
x＋7＝13－x，
解得x＝3，
所以长方形的宽为3，长为13－3＝10，
所以每个长方形的面积为3×10＝30.
30
5.为鼓励家庭厉行节约，某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度，家庭生活用气收费标准如表，例如，某家全年共使用天然气700 m3，其中前400 m3按2.4元/m3收费，另外200 m3按2.8 元/m3收费，剩下的100 m3按3.6元/m3收费.童童也想通过计算，了解自己家里使用天然气的情况.
(1)若他家去年共使用520 m3天然气，需要交费多少元？
解　他家去年共使用520 m3天然气，那么需要交天然气费
2.4×400＋2.8×(520－400)
＝960＋2.8×120
＝960＋336
＝1 296(元)，
即需要交费1 296元.
(2)若有一年他家交了1 556元天然气费，则这一年他家共用了多少m3的天然气？
家庭用气量(m3) 单价(元/m3)
一档 0~400(含) 2.4
二档 400~600(含) 2.8
三档 600以上 3.6
解　设他家用了x m3的天然气，
2.4×400＋2.8×(600－400)＝960＋560＝1 520(元)，
因为1 556>1 520，
所以童童家所用天然气超过了600 m3，
根据题意得 2.4×400＋2.8×(600－400)＋3.6(x－600)＝1 556，
解得x＝610，
所以这一年他家共用了610 m3的天然气.
本课结束

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