资源简介

(共44张PPT)
第十二章　分式和分式方程
12.4　分式方程
1.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念.(重点)
2.会解分式方程，会检验根的合理性.(重点)
3.会根据有关增根的性质解决问题.(难点)
学习目标
情境引入
小红家到学校的路程为38 km. 小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h. 已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一、分式方程的概念
问题1　某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，问怎样调配劳动力才能使挖出来的土被及时运走且不窝工？
解决问题，可设派x人挖土，其他人运土.
列方程：(1；(2)72－x＝x；
(3)x＋x＝72；(4＝3.
在上述所列方程中，正确的是　　　 　(填序号)，请找出它们的区别.
提示　区别：(1)(4)的分母上含有未知数，(2)(3)分母不含未知数，属于整式方程.
(1)(2)(3)(4)
知识梳理
1. 中含有未知数的方程，叫作分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值，叫作分式方程的 (也叫作分式方程的 ).
2.分式方程与整式方程的区别与联系.
分母
根
解
名称 关系 分式方程 整式方程
区别 分母中 未知数 分母中 未知数
联系 分式方程可以转化为整式方程 不含有
含有
例1
下列方程中，a，b为已知数，x为未知数.
①；②＝4；
③＝x；④＋2＝；
⑤＝0.
其中是分式方程的个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
√
解析　按分式方程的概念去判断：
①中分母不含未知数x，故①不是分式方程；
③虽然分母中含字母a，b，但a，b不是未知数，故③不是分式方程；
②④⑤的分母中都含有未知数x，故都是分式方程.
(1)分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数.
(2)分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数.
反思感悟
(1)在方程＝5，x，－9＝0，－x＝7中，分式方程有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
跟踪训练1
√
(2)若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是
A.5 B.－5
C.3 D.－3
√
解析　∵x＝3是分式方程＝0的根，
∴＝0，解得a＝5.
二、解分式方程
问题2　(1)解一元一次方程的一般步骤是什么？
提示　去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
(2)解方程：＝1.
提示　去分母，得2(5x＋1)－(7x＋2)＝4，
去括号，得10x＋2－7x－2＝4，
移项，得10x－7x＝4－2＋2，
合并同类项，得3x＝4，
系数化为1，得x＝.
知识梳理
解分式方程的步骤：在解分式方程时，首先通过去分母将分式方程转化为 ，并解这个 ，然后将整式方程的解代入分式方程(或公分母)中检验.当分式方程左右两边 (或公分母不等于0)时，这个整式方程的解就是分式方程的解；当分式方程中某个分式的分母的值等于 (或公分母等于0)时，分式方程无解，我们把这样的根叫作分式方程的 .
整式方程
整式方程
相等
0
增根
知识梳理
注意点：解分式方程时，注意以下易错点：
①忘记验根；②去分母时漏乘整式项；③去分母后不添括号，弄错符号.
(课本P22例题)解方程：＝3.
例2
解　方程两边同乘x＋2，
得2－(2－x)＝3(x＋2).
解这个整式方程，得x＝－3.
经检验，x＝－3是原分式方程的解.
(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母.
(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必不可少的步骤.
(3)在去分母时，方程两边同乘最简公分母，必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能漏乘.
反思感悟
跟踪训练2
(1)如图，在框中解分式方程的4个步骤中，其依据是等式基本性质的是
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
√
解析　①根据等式的两边都乘同一个不为零的整式x－2，结果不变，
③根据等式的两边都加同一个整式3－x，结果不变.
(2)解方程：
①＝4；
解　去分母，得x－5＝4(2x－3)，
去括号，得x－5＝8x－12，
移项、合并同类项，得－7x＝－7，
系数化为1，得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解.
②＝1.
解　去分母，得3＋x(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，
去括号，得3＋x2＋3x＝x2－9，
移项，得x2＋3x－x2＝－9－3，
合并同类项，得3x＝－12，
系数化为1，得x＝－4.
经检验，x＝－4是原分式方程的解.
三、分式方程的增根
问题3　小丁和小迪分别解方程＝1过程如下.
小丁： 解：去分母，得x－(x－3)＝x－2， 去括号，得x－x＋3＝x－2， 合并同类项，得3＝x－2， 解得x＝5， ∴原方程的解是x＝5 小迪：
解：去分母，得x＋(x－3)＝1，
去括号，得x＋x－3＝1，
合并同类项，得2x－3＝1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法　 　，小迪的解法　 　；(填“正确”或“错误”)
提示　∵小丁在“去分母”时出现了符号错误，并且没有验根，
小迪在“去分母”时，等号的右边没有乘最简公分母(x－2)，出现了错误，
∴小丁的解法错误，小迪的解法错误.
(2)请写出你的解答过程.
提示　＝1，
x＋(x－3)＝x－2，
x＋x－3＝x－2，
x＋x－x＝－2＋3，
x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解.
已知关于x的分式方程＝1.
(1)若该方程有增根1，求a的值；
例3
解　去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，
∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1.
(2)若该方程有增根，求a的值.
解　∵原分式方程有增根，
∴x(x－1)＝0，x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，
∴x＝1，
∴原分式方程的增根为1，
∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1.
(1)方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：
①把分式方程化为整式方程；
②令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是不是整式方程的根，如本例题中x＝0就不是整式方程的根；
③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值.
反思感悟
(2)“原分式方程无解”隐含了两种情况，一是求出的x值是分式方程化成整式方程的解，但是这个解使最简公分母的值为0；二是所化成的整式方程无解，所以原分式方程无解.
反思感悟
(1)若解分式方程－3产生增根，则k的值为
A.2 B.1
C.0 D.任何数
跟踪训练3
√
解析　－3，
去分母，得k＝x－k－3(x－2).
去括号，得k＝x－k－3x＋6.
移项，得－x＋3x＝－k＋6－k.
合并同类项，得2x＝6－2k.
x的系数化为1，得x＝3－k.
∵分式方程－3产生增根，
∴3－k＝2，∴k＝1.
(2)已知，关于x的分式方程＝1.
①当m＝－1时，请判断这个方程是否有解并说明理由；
解　这个方程无解，
理由：当m＝－1时，方程变为＝1，
化为整式方程，得x2－x－2＋2x＝x2＋x，
∴当m＝－1时，这个方程无解.
②若这个分式方程有解，求m的取值范围.
解　＝1，
化为整式方程，得2(m＋1)x＝m－1，
∵这个分式方程有解，∴m≠－1，
∵当x＝0或－1时，这个分式方程无解，
∴m≠1或－，
∴m的取值范围是m≠±1或－.
1.下列方程中，分式方程是
A.4x2＋xy＝ B.
C.＝5ax(a≠0) D.＝1
√
解析　首先看方程是否含有分母，其次看方程的分母中是否含有未知数；选项A，B，方程分母中没有未知数，是整式方程；
选项C，分母中π是常数，也是整式方程；
选项D，方程符合分式方程的定义.
2.解分式方程＝3时，去分母后变形正确的为
A.2＋(x＋2)＝3(x－1)
B.2－x＋2＝3(x－1)
C.2－(x＋2)＝3
D.2－(x＋2)＝3(x－1)
√
解析　方程两边同时乘x－1，
得2－(x＋2)＝3(x－1).
3.(2025·邢台临西县期末)小明和小亮解答“解分式方程＝1－”的过程如下，
小亮的解法：
解：去分母，得2x＋3＝x－(x－1)，①
去括号，得2x＋3＝x－x＋1， ②
移项，得2x＝－3＋1， ③
合并同类项，得2x＝－2， ④
系数化为1，得x＝－1， 　　　　 ⑤
经检验，x＝－1是原分式方程的解 ⑥
对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是
A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人都正确
D.两人都错误
√
解析　根据题意得，小亮的解答正确；小明的步骤①漏乘，错误.
4.若关于x的分式方程有增根，则它的增根是　　.
1
5.解分式方程：
(1；
解　方程两边同乘x2－1，
得x＋1＝2，解得x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，
所以原方程无解.
(2＝2；
解　方程两边同乘x－2，
得5＋1＝2(x－2)，解得x＝5.
检验：当x＝5时，x－2＝3≠0，
所以原方程的解是x＝5.
(3＋1＝；
解　方程两边同乘x(x＋1)，
得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)，
解得x＝－.
检验：当x＝－时，x(x＋1)＝－≠0，
所以原方程的解是x＝－.
(4＝2x.
解　方程两边同乘x＋2，
得2x2＋1＝2x(x＋2)，解得x＝.
检验：当x＝时， x＋2＝2≠0，
所以原方程的解是x＝.
本课结束

展开更多......

收起↑