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第十二章　分式和分式方程
12.5　分式方程的应用(1)
1.理解工程、行程类问题中的数量关系，正确列出分式方程.(重点)
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.(难点)
学习目标
情境引入
小红和小丽分别将9 000字和7 500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入字数的和是220.那么两人平均每分钟各录入多少字？
工程、行程类问题
问题　思考行程问题、工程问题中有几个量？它们之间的关系是什么？
提示　行程问题：3个量：路程、时间、速度.
关系：路程＝时间×速度；速度＝；时间＝.
工程问题：3个量：工作总量、工作时间、工作效率.
关系：工作总量＝工作时间×工作效率；
工作时间＝；工作效率＝.
知识梳理
列分式方程解应用题的一般步骤：
第一步，审题；第二步，设未知数；第三步，根据题目中的等量关系，列分式方程；第四步，解分式方程；第五步，检验；第六步，写出答案.
注意点：一般当工作总量没有确定值时，把工作总量看作单位1.
例1
某工程队承建一所希望学校，在施工过程中，由于引进了先进设备，工作效率提高了20%，因此提前1个月完工.那么，这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校？
解　设工程队原计划用x个月的时间建成这所希望学校，
根据题意，得·(1＋20%)＝，
解这个方程，得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的根.
即这个工程队原计划用6个月的时间建成这所希望学校.
1.通常间接设元，如××单独完成需 x(单位时间)，则可表示出其工作效率.
2.列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的数量关系，列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.
反思感悟
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解　设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时.
由题意得＝1，解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解.∴x＋3＝9.
即甲队单独完成全部工程需6小时，乙队单独完成全部工程需9小时.
例2
解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三个量，如工程问题有工作效率、工作时间、工作量；2指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是两个主人公工作总量之和＝全部工作总量.
反思感悟
(1)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
A.200 B.300
C.400 D.500
跟踪训练1
√
解析　设改造后每天生产的产品件数为x，
则改造前每天生产的产品件数为(x－100)，
根据题意，得，解得x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，且符合题意，
即改造后每天生产的产品件数为300.
(2)某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成.已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍.甲、乙单独完成这项工作各需多少天？
解　设甲单独完成这项工作需x天，
则乙单独完成这项工作需2x天，
由题意得＝1， 解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×5＝10，
即甲单独完成这项工作需5天，乙单独完成这项工作需10天.
一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地，求原计划的行驶速度.
(1)审：审清题意，找出已知量和　　 　；
(2)设：设未知数，设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为　　　 　；
(3)列：根据等量关系，列分式方程为　　 　；
(4)解：解分式方程，得x＝　 　；
例3
　
未知量
1.5x km/h
60
(5)检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义.
经检验：　　　是原方程的解，且符合题意；
(6)即写出答案(不要忘记单位).
即原计划的行驶速度为　　km/h.
x＝60　
60
解决行程类应用题，关键是抓住行程问题中三个量之间的关系，列方程时特别要注意单位统一.
反思感悟
跟踪训练2
(1)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
√
解析　设江水的流速为x km/h，根据题意可得
，解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的根，
即江水的流速为8 km/h.
(2)甲、乙两人站在一条道路的两端同时出发相向而行，1.2小时相遇，若甲走完这条路需2小时，则乙走完这条路需　　小时.
解析　设乙走完这条路需x小时，
根据题意可得，解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的根.
所以乙走完这条路需3小时.
3
(3)王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米.一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校晚20分钟.已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟.求骑车的速度.
解　设步行的速度为x千米/时，
则骑车速度为2.5x千米/时，
由题意，得，
即， 解得x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的根，
当x＝6时，2.5x＝15，
即骑车的速度为15千米/时.
1.(2025·石家庄藁城区期末)“某学校改造过程中整修门口3 000米的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x 米，可得方程＝20，则题目中用“…”表示的条件应是
A.每天比原计划多修10米，结果延期20天完成
B.每天比原计划多修10米，结果提前20天完成
C.每天比原计划少修10米，结果延期20天完成
D.每天比原计划少修10米，结果提前20天完成
√
解析　设实际每天整修道路x 米，
则(x－10)米表示实际施工时，
每天比原计划多修10米，
∵方程＝20，
其中表示原计划施工所需时间，
表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成.
2.为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小李家距上班地点20 km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12 km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶
A.30 km B.36 km
C.40 km D.46 km
√
解析　设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，
则他自驾车平均每小时行驶(x＋12)km，
根据题意列方程，×，解得x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36 km.
3.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为　　天.
7
解析　设规定时间为x天，
根据题意列方程得×2＝，
两边同时乘以(x＋1)(x－3)，
得1 800(x－3)＝900(x＋1)，
整理得，900x＝6 300，解得x＝7，
经检验，x＝7是原分式方程的解.
所以规定时间为7天.
4.(2025·石家庄长安区期中)某学校在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案，
方案①：甲队单独完成此项工程刚好如期完工；
方案②：乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；
方案③：若两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完工；求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
解　设甲队单独完成此项工程需x天，
则乙队单独完成此项工程需(x＋5)天.
根据题意，得＝1，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的解.
∴x＋5＝25.
即甲队单独完成此项工程需20天，
则乙队单独完成此项工程需25天.
5.早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希望的义务植树活动.该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划每天多植20%，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵.
解　设原计划每天植树x棵，
则实际每天植树(1＋20%)x棵，
由题意得＝3，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
即原计划每天植树40棵.
本课结束

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