13.1 命题与证明 课件(共35张PPT) 初中数学冀教版(2024)八年级上册

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13.1 命题与证明 课件(共35张PPT) 初中数学冀教版(2024)八年级上册

资源简介

(共35张PPT)
13.1 命题与证明
第十三章 全等三角形
1.了解互逆命题、证明、互逆定理的概念.
2.能正确写出一个命题的逆命题,并会判断它是否正确.(重点)
3.初步了解证明的格式、方法和步骤,体会证明步骤的严谨性.(重点)
4.能运用基本事实和相关定理进行简单的证明.(难点)
学习目标
情境引入
对于平行线,我们知道:
在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?
一、逆命题
知识梳理
一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为 .在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为_____
,那么另一个命题就是这个原命题的 .
互逆命题
原命

逆命题
写出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假.
(1)内错角相等;
例1
解 相等的两个角是内错角,原命题和逆命题都是假命题.
(2)如果两个角相加等于180°,那么这两个角互为邻补角.
解 如果两个角互为邻补角,那么这两个角相加等于180°,原命题是假命题,逆命题是真命题.
反思感悟
写一个命题的逆命题时需要明确原命题的条件和结论,然后进行互换,判断一个命题为假命题可以用举反例的方法.
(1)对于命题:“如果a>0,b>0,那么a+b>0.”下列判断正确的是
A.该命题及其逆命题都是真命题
B.该命题是真命题而其逆命题是假命题
C.该命题及其逆命题都是假命题
D.该命题是假命题而其逆命题是真命题
跟踪训练1

解析 “如果a>0,b>0,那么a+b>0”是真命题,其逆命题为“如果a+b>0,那么a>0,b>0,是一个假命题,如-3+4=1>0,就不成立.
(2)下列命题的逆命题是真命题的是
A.如果a>b,那么ac>bc
B.如果a=b=0,那么ab=0
C.如果a>b,那么a2>b2
D.如果|a|=|b|,那么a=b

解析 A选项,逆命题为“如果ac>bc,那么a>b”是假命题,不符合题意;
B选项,逆命题为“如果ab=0,那么a=b=0”是假命题,不符合题意;
C选项,逆命题为“如果a2>b2,那么a>b”是假命题,不符合题意;
D选项,逆命题为“如果a=b,那么|a|=|b|”是真命题,符合题意.
(3)命题“若mn<0,则m,n异号”的逆命题是      .
若m,n异号,则mn<0
二、证明
知识梳理
要判断一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种 叫作证明.
推理的过程
(课本P37例题)证明:平行于同一条直线的两条直线平行.
已知:如图,直线a,b,c,a∥c,b∥c.
求证:a∥b.
例2
证明 如图,作直线d,分别与直线a,b,c相交.
∵a∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵b∥c(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行),
即平行于同一条直线的两条直线平行.
反思感悟
用文字叙述的命题的证明,应当按下列步骤进行:
第一步,依据题意画图,将文字语言转换为符号(或图形)语言.
第二步,根据图形写出已知、求证.
第三步,根据基本事实、已有定理、性质、定义等进行证明.
注意:“因为(∵)”后面写“因”,它一般是命题中的已知条件或特殊的图形关系;“所以(∴)”后面写“果”,它一般是由已知条件直接推出的结论;后面括号内写“因”或“果”的依据,也就是我们所说的理由.
(1)如图,已知∠A=∠C,若AB∥CD,则BC∥AD.请说明理由.
理由如下:
∵AB∥CD(已知),
∴∠ABE=∠  (     ).
∵∠A=∠C(已知),
∴     (    ).
∴BC∥AD(      ).
跟踪训练2
C
两直线平行,同位角相等
∠ABE=∠A
等量代换
内错角相等,两直线平行
(2)命题“当n是整数时,两个连续整数的平方差(n+1)2-n2等于这两个连续整数的和”正确吗?试着用你学过的知识说明理由.
解 正确,理由如下:
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2
=2n+1=(n+1)+n.
故命题“当n是整数时,两个连续整数的平方差(n+1)2-n2等于这两个连续整数的和”正确.
(3)命题:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.画出图形,写出该命题的已知、求证,并证明.
解 已知:如图,a⊥b,a⊥c,
求证:b∥c.
证明:∵a⊥b,∴∠1=90°.
∵a⊥c,∴∠2=90°,
∴∠1=∠2,∴b∥c.
三、逆定理
问题 每一个命题的逆命题都是真命题吗?
提示 不一定.
知识梳理
如果一个定理的逆命题是 ,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是 .
互逆定理
真命题
下列定理中,有逆定理的是
A.等边三角形的三边相等
B.平角都相等
C.若三角形中有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
例3
解析 A项的逆命题是“三边相等的三角形是等边三角形”,是真命题;B项的逆命题是“相等的角是平角”,是假命题;
C项的逆命题是“若三角形中有两个内角是锐角,则另外一个内角是钝角”,是假命题;
D项的逆命题是“若两个数的绝对值相等,则这两个数互为相反数”,是假命题.

反思感悟
每一个命题都有逆命题,并不是每一个定理都有逆定理,只有该定理的逆命题是真命题时,原定理才有逆定理.
(1)下列说法正确的有
①每个命题都有逆命题;②互逆命题的真假性一致;③每个定理都有逆定理.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
跟踪训练3

解析 每个命题都有逆命题,但是逆命题的真假和原命题的真假不一定一致,每个定理不一定都有逆定理,所以只有①正确.
(2)下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是
A.同旁内角不互补,两直线平行
B.同旁内角不互补,两直线不平行
C.两直线平行,同旁内角互补
D.两直线不平行,同旁内角不互补

(3)举例说明下列定理没有逆定理.
①对顶角相等;
解 逆命题是“相等的角是对顶角”,这个命题是假命题,举反例,如图所示,
∠1和∠2相等,但是它们不是对顶角,
所以原定理没有逆定理.
②如果a,b都是正数,那么ab是正数.
解 逆命题是“如果ab是正数,那么a,b都是正数”,
这个命题是假命题,举反例,
当ab=4,a=-1,b=-4,a,b不是正数,所以原定理没有逆定理.
用文字叙述命题的证明步骤:
(1)画图;(2)写已知、求证;(3)证明.
1.下列命题的逆命题是真命题的是
A.如果两个角是直角,那么这两个角相等
B.如果两个有理数相等,那么它们的平方相等
C.若a>b,则a≥b
D.两直线平行,内错角相等

解析 “如果两个角是直角,那么这两个角相等”,逆命题是“如果两个角相等,那么这两个角是直角”,是假命题,A项不符合题意;
“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”,逆命题是“如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等”,是假命题,B项不符合题意;
“若a>b,则a≥b”,逆命题是“若a≥b,则a>b”,是假命题,C项不符合题意;
“两直线平行,内错角相等”,逆命题是“内错角相等,两直线平行”,是真命题,D项符合题意.
2.命题“若-3a>-3b,则a若a-3b
真命题
3.写出下列命题的逆命题,并判断真假.
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
解 逆命题:在同一平面内,如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线.
判断:根据平行线的性质,如果两条直线在同一平面内平行,那么它们与第三条直线的夹角是相等的.若其中一夹角等于90°,则另一夹角也等于90°,即这两条平行线与第三条直线都垂直.满足条件.因此,逆命题是真命题.
(2)末位数是0或5的整数能被5整除.
解 逆命题:能被5整除的整数,其末位数是0或5.
判断:根据整数的性质,一个整数如果能被5整除,那么它的末位数只能是0或5,因此逆命题是真命题.
4.(1)完成下面的推理说明:
已知:如图,BE∥CF,BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD.
求证:AB∥CD.证明:∵BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知),
∴∠1=∠   ,
∠2=∠   (        ).
∵BE∥CF(已知),
∴∠1=∠2(         ),
∴∠ABC=∠BCD(      ),
∴∠ABC=∠BCD(等式的性质),∴AB∥CD(       );
ABC
BCD
角平分线的定义
两直线平行,内错角相等
等量代换
内错角相等,两直线平行
(2)指出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.
解 两个互逆的真命题为:两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
本课结束

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