13.3 第4课时 具有特殊位置关系的全等三角形 课件(共28张PPT) 初中数学冀教版(2024)八年级上册

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13.3 第4课时 具有特殊位置关系的全等三角形 课件(共28张PPT) 初中数学冀教版(2024)八年级上册

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(共28张PPT)
第4课时 具有特殊位置关系的全等三角形
第十三章 13.3 全等三角形的判定
1.掌握三角形全等中的两个三角形的特殊位置关系,能利用平移或旋转这两种变换证明两个三角形全等.(重点)
2.能熟练使用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等.(难点)
3.掌握具有特殊关系的全等三角形的证明.
学习目标
情境引入
用剪刀在白纸上剪出两个全等的三角形,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?
具有特殊位置关系的全等三角形
问题 如图每组中的两个三角形是全等的吗?它们的位置关系是怎么样的呢?
提示 在图(1)中,把△ABC 沿直线BC平移,可得到△DEF.
在图(2)中,把△ABC 沿直线BC翻折180°,得到△DBC.
在图(3)中,把△ABC 绕点A旋转,得到△ADE.
各组图中的两个三角形是全等的.
知识梳理
在我们遇到的两个全等三角形中,有些图形具有特殊的位置关系,即其中一个三角形是由另一个三角形经过 或 (有时是两种变化)得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系,能够帮助我们找到命题证明的途径,快捷地解决问题.
平移
旋转
(课本P55例3)已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点, DE∥AB,交 AC于点E. DF∥AC,交AB于点F .
求证:△BDF≌△DCE.
例1
证明 ∵D是BC的中点(已知),
∴BD=DC(线段中点的定义).
∵DE∥AB,DF∥AC,(已知)
∴∠B=∠EDC,∠BDF=∠C.(两直线平行,同位角相等)
在△BDF和△DCE中,
∴△BDF≌△DCE(ASA).
反思感悟
把一个三角形沿某直线平行移动,得到全等三角形.从平移的角度寻找全等三角形的对应元素,方便快捷.
如图.在△ABC和△DEF中,点B,C,E,F在同一条直线上.已知AB=DE,AB∥DE,∠A=∠D.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
跟踪训练1
证明 ∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)若BE=6,EC=5,求BF的长.
解 ∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,
∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF,
∵BE=6,EC=5,∴CF=BE=6,
∴BF=BE+EC+CF=6+5+6=17.
如图,AC与DE交于点O,且OE=OC,点E,C在BF上,BE=CF,∠A=∠D.求证:AB=DF.
例2
证明 作△EOC的边EC上的中线OH(图略),则EH=CH,
在△EOH和△COH中,
∴△EOH≌△COH(SSS),
∴∠ACB=∠DEF,
∵BE=CF,∴BC=FE,
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(AAS),∴AB=DF.
反思感悟
关于全等三角形的证明可以按以下步骤:
(1)观察是否存在特殊的位置关系.
(2)如果存在可得出什么结论.
(3)选择三角形的判定方法.
(1)如图,∠ABC=∠DCB,AC与BD交于点O,添加条件AB=DC后,可使得△ABC≌ △DCB成立,则判断△ABC和△DCB全等的依据是
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
跟踪训练2
解析 ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
则判断△ABC和△DCB全等的依据是SAS.

(2)如图,AB=AC,E,D分别是AB,AC的中点,AF⊥CE,垂足为点F,AG⊥BD,垂足为点G,试判断AF与AG的数量关系,并说明理由.
解 AF=AG.理由:
∵E,D分别是AB,AC的中点,∴AD=AC,AE=AB,
∵AB=AC,∴AD=AE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,
∵AF⊥CE,AG⊥BD,∴∠AFC=∠AGB=90°.
在△ABG和△ACF中,
∴△ABG≌△ACF(AAS),∴AF=AG.
(课本P55例4)已知:如图,在△ABC中, D,E分别是AB,AC的中点, CF∥AB,交DE的延长线于点F.
求证:DE=FE .
例3
证明 ∵CF∥AB(已知),
∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).
在 △EAD和△ECF中,

∴△EAD≌△ECF(ASA).
∴DE=FE(全等三角形的对应边相等).
反思感悟
将一个三角形绕某一点旋转一定的角度,得到全等三角形,从旋转角度寻找全等三角形的对应元素,方便快捷.熟练掌握“旋转型”全等三角形的证明问题.
如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,∠B=∠E,BF=EC.求证:△ABC≌△DEF.
跟踪训练3
证明 ∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+FC,即BC=FE,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
证明两个三角形全等,一般情况下是已知两个条件去找第三个条件,有以下几种情况:
①已知两边
②已知两角
③已知一边及其邻角
④已知一边及其对角,找余下的任意一角.
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE=AF,可用“SAS”判断全等的是
A.△ABD和△ACD B.△BDE和△CDF
C.△ADE和△ADF D.以上三个选项都可以

解析 ∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,
在△ADE与△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SAS).
2.如图所示,在海边灯塔上进行测量,直立一根可以原地转动的竖竿EF(垂直于地面),在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆,先转动横杆使其转向船的位置B,再转动竖竿EF,使横杆对准岸上的一点C,然后测量D,C的距离,即得D,B的距离,那么得到△ADC≌△ADB的依据是
A.SSS B.SAS
C.AAS D.SSA

解析 由题意知AB=AC,∠BAD=∠CAD,
在△ADC和△ADB中,
∴△ADC≌△ADB(SAS).
3.(2025·石家庄裕华区期中)如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则∠P的度数为   .
100°
解析 在△MAK和△KBN中,
∴△MAK≌△KBN(SAS),∴∠BKN=∠AMK,
∵∠MKB是△AMK的外角,
∴∠BKN+∠MKN=∠A+∠AMK,
∴∠A=∠MKN=40°,
∴∠B=∠A=40°,
∴∠P=180°-40°-40°=100°.
4.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=45°,∠A=80°,求∠DBE的度数.
解 ∵BE∥DF,∴∠D=∠ABE,
在△CDF和△EBA中,
∴△CDF≌△EBA(ASA),
∴∠E=∠FCD=45°,
∵∠A=80°,∴∠DBE=∠A+∠E=80°+45°=125°.
5.如图,在△ABC中,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A'B'与AC的交点为O.若B'为BC的中点,求证:△AOA'≌△COB'.
证明 ∵将AB沿射线BC的方向平移至A'B',
∴AA'=BB',AA'∥BB',∴∠A'=∠CB'O,
∵B'为BC的中点,∴BB'=B'C,∴AA'=CB',
∵在△AOA'和△COB'中,
∴△AOA'≌△COB'(AAS).
本课结束

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