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第1课时　平方根
第十四章　14.1　平方根
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根.(重点)
2.了解开平方与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.(难点)
3.能够利用平方根的相关知识解决一些实际问题.
学习目标
情境引入
小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来，需要护栏多少米？
要求出护栏的长，需要知道正方形花圃的边长.
求花圃的边长就是已知一个数的平方等于100，求这个数.
一、平方根的概念
问题1　(1)和-的平方分别等于多少？10和-10的平方分别等于多少？
提示　，；100，100.
(2)平方等于的数有哪些？平方等于100的数呢？
提示　，-；10，-10.
(3)满足x2=25的x的值是多少？
提示　5，-5.
知识梳理
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作a的二次方根.
x2=a
例1
(课本P69例1)求下列各数的平方根：
(1)81；
解　因为(±9)2=81，
所以81的平方根为±9，
即±=±9.
(2)；
解　因为=，
所以的平方根为±，
即±=±.
(3)0.04.
解　因为(±0.2)2=0.04，
所以0.04的平方根为±0.2，
即±=±0.2.
跟踪训练1
(1)下列说法正确的是
A.1的平方根是1
B.1是1的一个平方根
C.(-2)2的平方根是-2
D.1的平方根是-1
√
解析　∵(±1)2=1，∴1的平方根是±1，选项A，D错误；
∵1的平方根是±1，
∴1是1的一个平方根，选项B正确；
∵(-2)2=4，(±2)2=4，
∴4的平方根是±2，即(-2)2的平方根是±2，选项C错误.
(2)求下列各数的平方根.
①64；
解　因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，
即±=±8.
②0.16；
解　因为(±0.4)2=0.16，
所以0.16的平方根是±0.4，
即±=±0.4.
③20；
解　因为20=，且=，
所以20的平方根是±，
即±=±.
④(-15)2.
解　因为(-15)2=225，且(±15)2=225，
所以(-15)2的平方根是±15，即±=±15.
(3)求下列各式中x的值.
①x2=49；
解　∵(±7)2=49，∴x=±7.
②(x+1)2=256.
解　∵(±16)2=256，
∴x+1=±16，∴x=15或x=-17.
二、平方根的性质及开平方
问题2　(1)填写表格.
x … -3 -1 0 1 3 …
x2 … …
9
1
0
1
9
(2)观察框图，其中a>0，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系？
提示　互为逆运算.
知识梳理
1.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们 .0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
2.平方根的表示方法：一个非负数a的平方根可记为“ ”，读作“正负根号a”.其中，a称为被开方数.
一个正数a有两个平方根：一个是正数 ，读作“根号a”；一个是负数-，读作“负根号a”.
3.我们把求一个数的平方根的运算，叫作 .对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
互为相反数
±
下列各数中，没有平方根的是
A.-22 B.(-2)2 C.-(-2) D.|-2|
例2
解析　A选项，-22=-4，负数没有平方根，符合题意；
B选项，(-2)2=4，正数有两个平方根，不符合题意；
C选项，-(-2)=2，正数有两个平方根，不符合题意；
D选项，|-2|=2，正数有两个平方根，不符合题意.
√
(1)下列说法正确的是
A.0的平方根是0
B.4的平方根是2
C.负数有2个平方根
D.正数只有1个平方根
跟踪训练2
√
(2)在0，32，(-5)2，-4，-|-16|，x中，一定有平方根的数的个数为
A.3 B.4 C.5 D.6
√
解析　∵-4和-|-16|均为负数，
∴没有平方根.
∵x不知其正负性，
∴不一定有平方根.
易知一定有平方根的数是0，32，(-5)2，共3个.
(3)用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是
A.=81 B.±=±9
C.=±9 D.±=9
√
(4)如果一个数的一个平方根是4，那么这个数的另一个平方根是　　　.
-4
解析　一个正数的两个平方根互为相反数，所以当其中一个是4时，另一个是-4.
1.的平方根是±，用式子表示正确的是
A.±= B.±=±
C.= D.=±
√
2.一个正数的两个不同的平方根是m+1和m-13，则这个正数是
A.7 B.49 C.6 D.36
√
解析　由题意得m+1+m-13=0，
解得m=6.
则这个正数是(m+1)2=(6+1)2=49.
3.若1-2a有平方根，则a可以取的值为　　 　　.
-1(答案不唯一)
4.求下列各数的平方根.
(1)196；
解　因为(±14)2=196，所以196的平方根为±14，即±=±14.
(2)8 100；
解　因为(±90)2=8 100，所以8 100的平方根为±90，即±=±90.
(3)0.002 5；
解　因为(±0.05)2=0.002 5，所以0.002 5的平方根为±0.05，
即±=±0.05.
(4).
解　因为=，所以的平方根为±，即±=±.
5.求下列各式中的x的值.
(1)4x2-25=0；
解　4x2-25=0，
4x2=25，x2=，
x=±.
(2)(x+1)2=9.
解　(x+1)2=9，x+1=±3，
x=3-1=2或x=-3-1=-4，
∴x=2或x=-4.
6.如图，将一个棱长为6 dm的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为12 dm、宽是高的2倍的长方体容器里，水恰好装满.求长方体容器的高.
解　设长方体容器的高为x dm，则宽为2x dm.
依题意，得12×2x·x=63，
解得x=3或x=-3(舍去).故长方体容器的高为3 dm.
本课结束

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