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第1课时　有理数的乘法
第一章　1.8　有理数的乘法
1.理解并掌握有理数的乘法法则，能运用法则准确进行有理数的乘法运算.(重点、难点)
2.理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数.
学习目标
我们学过的乘法，乘数都是正数或0.在有理数范围内，如何进行乘法运算呢？
情境引入
一、有理数的乘法法则
问题1　我们借助数轴来探究有理数的乘法法则.
一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰好在l上的点O处.
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
提示　3分钟后在直线l上点O的右边6 cm处.
表示：(＋2)×(＋3)＝6.
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
提示　3分钟后在直线l上点O的左边6 cm处.
表示：(－2)×(＋3)＝－6.
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
提示　3分钟前在直线l上点O的左边6 cm处.
表示：(＋2)×(－3)＝－6.
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
提示　3钟分前在直线l上点O的右边6 cm处.
表示：(－2)×(－3)＝6.
(5)原地不动或运动了零次，结果是什么？
提示　都是仍在原处，即结果都是0.
用式子表达：
0×2＝0；0×(－2)＝0；
2×0＝0；(－2)×0＝0.
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把这两数的_______相乘.任何数同0相乘，仍得___.
知识梳理
绝对值
0
计算下列各题：
(1)×；
例1
解　×＝＋.
(2)1×；
解　1×＝－＝－.
(3)×(－1)；
解　×(－1)＝＋.
(4)×0；
解　×0＝0.
(5)(－3.75)×.
解　(－3.75)×＝×＝6.
反思感悟
(1)两个非0有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
(2)有理数相乘，当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为小数或分数，再相乘.
(1)计算：(－4)×等于
A.－6 B.6 C.－8 D.8
跟踪训练1
(2)(2025·河北石家庄长安区模拟)在2，3，－5，7这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是
A.6 B.35 C.－21 D.－35
√
√
二、倒数
问题2　×＝1；
×＝1；
×＝1.
认真观察每一对数，你发现了什么？
提示　两个乘数，分子、分母互相颠倒，且乘积为1.
如果两个有理数的乘积是___，那么我们称其中一个数为另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.例如，－互为倒数.0没有倒数.
注意点：(1)“乘积是1”是判断两个数互为倒数的条件.
(2)“互为”这个关键词体现了倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数.
(3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
(4)倒数等于它本身的数为±1.
知识梳理
1
求下列各数的倒数.
－4；－；0.125；1；－1.
例2
解　－4的倒数是－；－的倒数是－；
0.125的倒数是8；1的倒数是；
－1的倒数是－1.
反思感悟
若原数为带分数，则先化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数.若原数为小数，则先化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数.
(1)下列互为倒数的是
A.3和 B.－2和2
C.3和－ D.－2和
跟踪训练2
√
解　1，－1，3，－3，，－，，－.
(2)说出下列各数的倒数：
1，－1，，－，5，－5，0.75，－2.
三、有理数乘法的实际应用
(课本P38例2)通常情况下，海拔每增加1 km，气温就降低大约6 ℃
(气温降低记为负)，某校七年级科技兴趣小组在海拔为1 000 m的山腰上测得气温为12 ℃，请推算此山海拔为3 500 m处的气温大约是多少摄氏度.
例3
解　1 000 m＝1 km，3 500 m＝3.5 km，
12＋(－6)×(3.5－1)
＝12＋(－15)
＝12－15
＝－3(℃).
即此山海拔为3 500 m处的气温大约是零下3 ℃.
一种金属棒，当温度是20 ℃时，长为5厘米，温度每升高或降低1 ℃，它的长度就要随之伸长或缩短0.000 5厘米，求温度－10 ℃时金属棒的长度.
跟踪训练3
解　当20 ℃时金属棒的长度为5厘米，根据题意得金属棒最后的长度
＝5－[20－(－10)]×0.000 5＝4.985(厘米).
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把这两数的绝对值相乘.任何数同0相乘，仍得0.
2.如果两个有理数的乘积是1，那么我们称其中一个数为另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.
1.下列算式中，积为正数的是
A.－2×5
B.－6×(－2)
C.0×(－1)
D.5×(－3)
√
2.(2025·河北石家庄模拟)|－2 025|的倒数是
A. B.－
C.2 025 D.－2 025
√
解析　因为|－2 025|＝2 025，
2 025的倒数是，
所以|－2 025|的倒数是.
3.(2025·河北邢台信都区月考)在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是
①7×4；②(－5)×4；③3×0；④5×(－4)；⑤(－4)×0.
A.(－1)×(－9) B.(－6)×3
C.1×9 D.(－3)×6
√
解析　②(－5)×4＝－20和④5×(－4)＝－20反映了异号两数相乘的运算法则；
③3×0＝0和⑤(－4)×0＝0反映了正数与0、负数与0相乘，积为0的运算法则；
①7×4反映了两个正数相乘的运算法则；
综上，发现缺少反映两个负数相乘的运算法则，而(－1)×(－9)可以反映，所以A选项符合题意.
4.不计算，说出下列两数积的符号：
(1)3×5；
解　正.
(2)(－2)×4；
解　负.
(3)9×(－1)；
解　负.
(4)(－4)×(－6).
解　正.
5.计算：
(1)(＋4)×(－5)；
解　(＋4)×(－5)＝－20.
(2)(－0.125)×(－8).
解　(－0.125)×(－8)＝1.
6.用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.攀登一座山峰，每登高1 km，气温的变化量为－6 ℃，攀登3 km后，气温有什么变化？
解　(－6)×3＝－18(℃).
即气温下降18 ℃.
本课结束

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