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(共27张PPT)
3.3　数量之间的关系
第三章　代数式
1.探索发现图形与数之间的规律.
2.用代数式表示数量之间的关系.(重点、难点)
学习目标
仔细观察，按你发现的规律填空.
①1，2，3，4，　　　　，　　　　，…，　　　　(第n个数)；
②2，4，6，8，　　　　，　　　　，…，　　　　(第n个数)；
③2，4，8，16，　　　　，　　　　，…，　　　　(第n个数)；
④1，4，9，16，　　　　，　　　　，…　　　　(第n个数)；
⑤1，2，3，6，10，　　　　，　　　　，…，　　　　(第n个数).
课堂引入
一、用代数式表示数的变化规律
问题1　如图，这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
(1)设方框左上角的数为a.
①请用含a的代数式表示这9个数的和；
提示　a+(a+1)+(a+2)+(a+6)+(a+7)+(a+8)+(a+12)+(a+13)+(a+14)
=9a+63.
②当a为1，8，15时，求这9个数的和；
提示　a=1时，和为72；a=8时，和为135；a=15时，和为198.
(2)设方框正中间的数为m，S表示这9个数的和，请写出用m表示S的关系式；
提示　S=m+(m-1)+(m+1)+(m-6)+(m+6)+(m-7)+(m-5)+(m+5)+(m+7)=9m.
(3)如果将方框由左向右(由右向左)平行移动一列，
那么这9个数的和会有怎样的变化？如果方框由上向下(由下向上)平行移动一行，那么这9个数的和又有怎样的变化？在移动后，变化后的数字与原来对应位置上的数字有什么关系？
提示　向左(右)平移一列，和减少(增加)1×9=9.向上(下)平移一行，和减少(增加)6×9=54.向左(右)移动后，每个数字都比原来对应位置上的数字减少(增加)1；向上(下)移动后，每个数字都比原来对应位置上的数字减少(增加)6.
数字方面的变化规律
(1)若数字为整数的一列数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律；
(2)若是数字方面的等式(或表格)，可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律；
(3)若数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系.
知识梳理
(1)如图所示的是某年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，发现这三个数的和不可能是
A.27 B.36
C.40 D.54
√
解析　一竖列上相邻的三个数的和是3的倍数，故40符合题意.
例1
(2)如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，请你寻找规律，指出
当字母B第2 025次出现时，恰好数到的数为
A.6 062 B.6 066
C.6 068 D.6 074
√
解析　通过观察规律可知，A→B→C→D→C→B六个字母为一个周期，每个周期内字母B都会出现2次.
因为2 025÷2=1 012……1，所以1 012×6+2=6 072+2=6 074，
即恰好数到的数为6 074.
观察下列等式：
1×3=22-1，
2×4=32-1，
3×5=42-1，
…
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
跟踪训练1
解　n(n+2)=(n+1)2-1.
二、用代数式表示图形的变化规律
问题2　图1是由点组成的n行n列的方阵，图2是由
每条边上n个点围成的空心方阵.
(1)图1中方阵的总点数为多少？
提示　n2.
提示　n2-(n-2)2.
其他计算方法，如图.
将点阵进行分组，然后用不同的代数式表达出来，同一量可以用不同的代数式来表示.
(2)图2中方阵的总点数是多少？你还有其他的计算方法吗？
图形的变化规律
解决的方法通常是抓住相邻两个图形之间的变化规律，然后归纳出图形所反映的数量关系并用字母表示出来.
知识梳理
如图所示，用火柴摆图形.
(1)填写表格；
解　如表.
例2
三角形的数量/个 1 2 3 4 5 …
火柴的数量/根 …
三角形的数量/个 1 2 3 4 5 …
火柴的数量/根 3 5 7 9 11 …
(2)要拼出有n(n>1)个三角形的图形，需要多少根火柴？
解　要拼出有n(n>1)个三角形的图形，需要(2n+1)根火柴.
(3)要拼出有18个与40个三角形的图形，分别需要多少根火柴？
解　当n=18时，2n+1=2×18+1=37；
当n=40时，2n+1=2×40+1=81.
所以要拼出有18个三角形的图形，需要37根火柴；要拼出有40个三角形的图形，需要81根火柴.
(1)如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的，其中第1个图形有4个“星星”，第2个图形有7个“星星”，第3个图形有10个“星星”，…，则第8个图形中星星的个数是
跟踪训练2
A.20 B.23
C.25 D.26
√
(2)下图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形，…，依此规律，若第n个图案中有2 400个小正方形，则n的值为
A.593 B.595
C.597 D.599
√
1.在下列2×2的方格中找出规律，你认为x应为
A.10 B.-2
C.2 D.0
√
解析　每个方格中的四个数，对角上的两数和相等，所以3+7=12+x，所以x=-2.
2.(2025·河北石家庄期末)如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第1次输出的结果为27.第2次输出的结果为9，…，第2 025次输出的结果为
A.27 B.9 C.1 D.3
√
解析　由题知，
当开始输入的x值为81时，
第1次输出的结果为27，
第2次输出的结果为9，
第3次输出的结果为3，
第4次输出的结果为1，
第5次输出的结果为3，
…，
由此可见，从第3次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1.
因为2 025为奇数，
所以第2 025次输出的结果为3.
3.如图，第一排有1个三角形；第二排有3个三角形；第三排有5个三角形；第四排有　　个三角形；第n排有　　　个三角形.
7
(2n-1)
4.如图，按下列方式用火柴棒搭建正方形.
1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用　根火柴棒；3个正方形用　　根火柴棒；10个正方形用　　根火柴棒；n个正方形用　　　 根火柴棒.
7
10
31
(3n+1)
5.一组按规律排列的数：，，，，，…，请你推断第7个数是
　　；第n(n为正整数)个数是　　 　　.
本课结束

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