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专题1 求二次函数的表达式—浙教版数学中考二轮培优专训
一、选择题
1．（2024九上·瑞安期中）抛物线经过点，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·荔湾期中）已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
4．在“探索函数 的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为(　　).
A． B． C． D．
5．（2024九上·翁源期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·石家庄模拟）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
9．（2024九上·杭州期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是　 　．
10．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
11．（2023九上·绍兴月考）在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)，已知抛物线y=x2+mx－2m（m是常数），顶点为P，无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP=45°时，抛物线的解析式是　 　.
12．（2024九上·潮南月考）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是　 　．
三、解答题
13．（2025九下·洞头月考）已知二次函数（为常数）的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值．
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
14．（2024·丽水模拟）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，求证：．
15．（2025九下·义乌开学考）如图，二次函数y＝-x2+（k-1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
16．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
17．（2024九上·浙江期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
（1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入，得，
解得，
故选：A．
【分析】将点代入可得关于a的方程，解方程求出a的值
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【分析】根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=4代入解析式可得n值.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：|a|的值越大，抛物线的开口越小，
当a的值最大时，抛物线开口向上，且经过A，B，D三点，
因此将 A(0，2)，B(1，0)，D(2，3)三点坐标代入函数表达式计算，
得
得a=.
故答案为：A
【分析】根据a要最大，则开口要向上，根据|a|的值越大，抛物线的开口越小，当抛物线经过A，B，D三点时，a最大.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：作轴，于，于，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵点的坐标分别是，
∴，
解得，
∴，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质．作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，再利用待定系数法求解即可．
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
整理得：，
由图象可得点从点运动到点的过程中：
关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
先根据矩形的性质表示出CE，再利用AA证明，可设，利用相似三角形的性质得到，整理得：，由图象得函数关系式为，从而即可得出的值，即可解答．
8．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
9．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：关于的方程在范围内有两个不同的实数根，
∴抛物线与直线在范围内有两个不同的交点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，，
∴抛物线为，
当时，有，
当时，有，
如图，
要使方程在范围内有两个不同的交点，则，
故答案为：．
【分析】先将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，根据顶点坐标得到抛物线对称轴以及解析式，然后求出和的函数值，结合函数图象即可得到答案.
10．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
11．【答案】或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=2时，y=4+2m-2m=4．
∴无论m取何值，该抛物线都经过定点H（2，4）．
过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点H作HD⊥CD于点D．
∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°．
∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°．
∴∠BAC＝∠DBH．
∵∠AHP＝45°．
∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH．
在△ABC与△BHD中，，
∴△ABC≌△BHD（AAS）．
∴AC＝BD，BC＝HD．
设点B坐标为（a，b）．
①若点P在AH左侧，即点B在AH左侧，如图1．
∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a．
∴，解得，．
∴点B（﹣，）．
设直线BH解析式为y＝kx+h．
∴，解得，．
∴直线BH：y＝x+．
∵y＝x2+mx﹣2m，
∴抛物线顶点P为（﹣，﹣﹣2m）．
∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，
∴（﹣）+＝﹣﹣2m．
解得：m1＝﹣，m2＝﹣4．
∵m＝﹣4时，P（2，4）与点H重合，舍去，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．
②若点P在AH右侧，即点B在AH右侧，如图2．
∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2．
∴，解得，．
∴点B（，）．
设直线BH解析式为y＝kx+h．
∴，解得，．
∴直线BH：y＝﹣x+．
∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，
∴﹣（﹣）+＝﹣﹣2m．
解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）．
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．
综上所述，抛物线解析式为y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．
故答案为：或.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点．确定定点H的位置是解题的基础，构造全等三角形将线段长转化为点坐标是求函数解析式的关键．发现当x＝2时，y＝4，所以定点H（2，4）．过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点 H作HD⊥CD于点D，构造△ABC≌△BHD，利用对应边AC＝BD，BC＝HD求点B坐标，再求直线 BH解析式，把用 m表示的点P坐标代入BH解析式即求得m的值．由于满足∠AHP＝45°的点P可以在AH左侧或右侧，故需分情况讨论．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图像交轴于点，
∴解得：，
二次函数解析式为：，
当，则，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴．
如图，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时：
，
∴.
在中，，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象得解得，进一步得，即，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，根据将军饮马模型得，再根据勾股定理得，从而得周长的最小值是．
13．【答案】（1）解：把和代入，
得，
解得，
二次函数的关系式为；
（2）解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称，
则，
再向左平移个单位长度后的点为，
点恰好落在的图象上，
，
解得，．
，
；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为，
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，符合题意；
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意；
综上所述，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到二次函数的解析式；
（2）根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得到B1（2，16），由抛物线的对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=-2，由抛物线的对称性可求出，再由点的坐标平移规律的得到B2平移后对应点的坐标为，进而由抛物线上点的坐标特点，将点代入表达式解方程即可得到答案；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当n＜-6时，利用二次函数的增减性分别求出其最大及最小值，然后根据最大值与最小值的和为，分别列方程求解即可得到答案．
（1）解：把和代入，
得，
解得，
二次函数的关系式为；
（2）解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称，
则，
再向左平移个单位长度后的点为，
点恰好落在的图象上，
，
解得，．
，
；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为，
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，符合题意；
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意；
综上所述，的取值范围是．
14．【答案】（1）解：把，代入，
得，，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：由表可知，抛物线经过两点，
∴当或时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴
∵当时，y有最小值为，
∴①当，时，函数有最小值，
∴，解得：；
②当，则或时，函数y取得最小值，
∴，；
综上，的值或
（3）证明：由表和二次函数可得，，，，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的值随的减小而增大，
∴当时，，即
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用表格数据以及待定系数法求解即可；
（2）由表可知，抛物线经过两点，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，由对称轴直线公式得，即，当a＞0时，抛物线开口向上，在-1≤x≤3的范围内，x=1时函数值最小，据此求解即可；当a＜0时，图象开口向下，抛物线上离对称轴直线距离越远的点其函数值越小，据此结合x的取值范围，求解即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特点求出m、n、p的值，结合二次函数的对称轴直线公式得b=-2a，从而得到n-m-p=-7a-1，利用一次函数的性质即可求证.
15．【答案】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，
∴当x＝0，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∵OA＝OB，
∴OA＝3，
即点A的坐标为（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，
﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把点A（-3，0）、B（0，3）代入y＝ax+b得，
，
解得a＝1，b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，-x2﹣2x+3），
∴S△ABC＝S△ACE+S△BCE＝CE（AD+BF）＝ [（-x2-2x+3）-（x+3）]×3＝，
∴当x＝-时，S有最大值，S最大＝．
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象的特点可以先求出B点的坐标，然后确定A点的坐标，最后将点A的坐标代入函数解析式即可求出k的值，二次函数的解析式即可确定；
（2）本题可以将△ABC的面积拆分成△ACE的面积和△BCE的面积，然后先求出AB的解析式，进而用x来分别表示E、C的坐标。最后用二次函数来表示△ABC的面积，即可得出面积的最大值。
16．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；

（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式；
（2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行求解即可．
（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：根据题意，设在轴右侧抛物线的函数表达式为，
把代入表达式，得：，
解得：，
∴在轴右侧抛物线的函数表达式为：；
（2）解：在中，
当时，有，
∴这个装饰物的设计高度m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）结合二次函数顶点式，利用待定系数法进行求解；
（2）当时，代入（1）中的解析式，求出此时的函数值即可.
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得：，
解得：，
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：．
（2）在中，
当时，（），
答：这个装饰物的设计高度（）．
1 / 1专题1 求二次函数的表达式—浙教版数学中考二轮培优专训
一、选择题
1．（2024九上·瑞安期中）抛物线经过点，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入，得，
解得，
故选：A．
【分析】将点代入可得关于a的方程，解方程求出a的值
2．（2025九上·荔湾期中）已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【分析】根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=4代入解析式可得n值.
3．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
4．在“探索函数 的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为(　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：|a|的值越大，抛物线的开口越小，
当a的值最大时，抛物线开口向上，且经过A，B，D三点，
因此将 A(0，2)，B(1，0)，D(2，3)三点坐标代入函数表达式计算，
得
得a=.
故答案为：A
【分析】根据a要最大，则开口要向上，根据|a|的值越大，抛物线的开口越小，当抛物线经过A，B，D三点时，a最大.
5．（2024九上·翁源期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：作轴，于，于，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵点的坐标分别是，
∴，
解得，
∴，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质．作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，再利用待定系数法求解即可．
6．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
7．（2024·石家庄模拟）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
整理得：，
由图象可得点从点运动到点的过程中：
关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
先根据矩形的性质表示出CE，再利用AA证明，可设，利用相似三角形的性质得到，整理得：，由图象得函数关系式为，从而即可得出的值，即可解答．
二、填空题
8．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
9．（2024九上·杭州期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：关于的方程在范围内有两个不同的实数根，
∴抛物线与直线在范围内有两个不同的交点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，，
∴抛物线为，
当时，有，
当时，有，
如图，
要使方程在范围内有两个不同的交点，则，
故答案为：．
【分析】先将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，根据顶点坐标得到抛物线对称轴以及解析式，然后求出和的函数值，结合函数图象即可得到答案.
10．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
11．（2023九上·绍兴月考）在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)，已知抛物线y=x2+mx－2m（m是常数），顶点为P，无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP=45°时，抛物线的解析式是　 　.
【答案】或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=2时，y=4+2m-2m=4．
∴无论m取何值，该抛物线都经过定点H（2，4）．
过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点H作HD⊥CD于点D．
∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°．
∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°．
∴∠BAC＝∠DBH．
∵∠AHP＝45°．
∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH．
在△ABC与△BHD中，，
∴△ABC≌△BHD（AAS）．
∴AC＝BD，BC＝HD．
设点B坐标为（a，b）．
①若点P在AH左侧，即点B在AH左侧，如图1．
∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a．
∴，解得，．
∴点B（﹣，）．
设直线BH解析式为y＝kx+h．
∴，解得，．
∴直线BH：y＝x+．
∵y＝x2+mx﹣2m，
∴抛物线顶点P为（﹣，﹣﹣2m）．
∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，
∴（﹣）+＝﹣﹣2m．
解得：m1＝﹣，m2＝﹣4．
∵m＝﹣4时，P（2，4）与点H重合，舍去，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．
②若点P在AH右侧，即点B在AH右侧，如图2．
∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2．
∴，解得，．
∴点B（，）．
设直线BH解析式为y＝kx+h．
∴，解得，．
∴直线BH：y＝﹣x+．
∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，
∴﹣（﹣）+＝﹣﹣2m．
解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）．
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．
综上所述，抛物线解析式为y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．
故答案为：或.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点．确定定点H的位置是解题的基础，构造全等三角形将线段长转化为点坐标是求函数解析式的关键．发现当x＝2时，y＝4，所以定点H（2，4）．过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点 H作HD⊥CD于点D，构造△ABC≌△BHD，利用对应边AC＝BD，BC＝HD求点B坐标，再求直线 BH解析式，把用 m表示的点P坐标代入BH解析式即求得m的值．由于满足∠AHP＝45°的点P可以在AH左侧或右侧，故需分情况讨论．
12．（2024九上·潮南月考）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图像交轴于点，
∴解得：，
二次函数解析式为：，
当，则，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴．
如图，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时：
，
∴.
在中，，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象得解得，进一步得，即，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，根据将军饮马模型得，再根据勾股定理得，从而得周长的最小值是．
三、解答题
13．（2025九下·洞头月考）已知二次函数（为常数）的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值．
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：把和代入，
得，
解得，
二次函数的关系式为；
（2）解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称，
则，
再向左平移个单位长度后的点为，
点恰好落在的图象上，
，
解得，．
，
；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为，
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，符合题意；
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意；
综上所述，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到二次函数的解析式；
（2）根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得到B1（2，16），由抛物线的对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=-2，由抛物线的对称性可求出，再由点的坐标平移规律的得到B2平移后对应点的坐标为，进而由抛物线上点的坐标特点，将点代入表达式解方程即可得到答案；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当n＜-6时，利用二次函数的增减性分别求出其最大及最小值，然后根据最大值与最小值的和为，分别列方程求解即可得到答案．
（1）解：把和代入，
得，
解得，
二次函数的关系式为；
（2）解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称，
则，
再向左平移个单位长度后的点为，
点恰好落在的图象上，
，
解得，．
，
；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为，
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，符合题意；
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意；
综上所述，的取值范围是．
14．（2024·丽水模拟）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）若，求证：．
【答案】（1）解：把，代入，
得，，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：由表可知，抛物线经过两点，
∴当或时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴
∵当时，y有最小值为，
∴①当，时，函数有最小值，
∴，解得：；
②当，则或时，函数y取得最小值，
∴，；
综上，的值或
（3）证明：由表和二次函数可得，，，，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的值随的减小而增大，
∴当时，，即
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用表格数据以及待定系数法求解即可；
（2）由表可知，抛物线经过两点，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，由对称轴直线公式得，即，当a＞0时，抛物线开口向上，在-1≤x≤3的范围内，x=1时函数值最小，据此求解即可；当a＜0时，图象开口向下，抛物线上离对称轴直线距离越远的点其函数值越小，据此结合x的取值范围，求解即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特点求出m、n、p的值，结合二次函数的对称轴直线公式得b=-2a，从而得到n-m-p=-7a-1，利用一次函数的性质即可求证.
15．（2025九下·义乌开学考）如图，二次函数y＝-x2+（k-1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
【答案】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，
∴当x＝0，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∵OA＝OB，
∴OA＝3，
即点A的坐标为（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，
﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把点A（-3，0）、B（0，3）代入y＝ax+b得，
，
解得a＝1，b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，-x2﹣2x+3），
∴S△ABC＝S△ACE+S△BCE＝CE（AD+BF）＝ [（-x2-2x+3）-（x+3）]×3＝，
∴当x＝-时，S有最大值，S最大＝．
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象的特点可以先求出B点的坐标，然后确定A点的坐标，最后将点A的坐标代入函数解析式即可求出k的值，二次函数的解析式即可确定；
（2）本题可以将△ABC的面积拆分成△ACE的面积和△BCE的面积，然后先求出AB的解析式，进而用x来分别表示E、C的坐标。最后用二次函数来表示△ABC的面积，即可得出面积的最大值。
16．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；

（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式；
（2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行求解即可．
（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
17．（2024九上·浙江期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
（1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
【答案】（1）解：根据题意，设在轴右侧抛物线的函数表达式为，
把代入表达式，得：，
解得：，
∴在轴右侧抛物线的函数表达式为：；
（2）解：在中，
当时，有，
∴这个装饰物的设计高度m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）结合二次函数顶点式，利用待定系数法进行求解；
（2）当时，代入（1）中的解析式，求出此时的函数值即可.
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得：，
解得：，
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：．
（2）在中，
当时，（），
答：这个装饰物的设计高度（）．
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