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浙江省杭州市钱塘区杭四江东2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025高二上·西湖期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025高二上·西湖期末）设集合，若，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
3．（2025高二上·西湖期末）椭圆与椭圆的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
4．（2025高二上·西湖期末）已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（　　）
A．0 B． C． D．
5．（2025高二上·西湖期末）圆，圆，则圆与（　　）
A．相离 B．有3条公切线
C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为
6．（2025高二上·西湖期末）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·西湖期末）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．（2025高二上·西湖期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（　　）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025高二上·西湖期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2025高二上·西湖期末）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（　　）
A．若a，b，c成等差数列，则成等比数列
B．若a，b，c成等比数列，则成等比数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等比数列
D．若成等比数列，则a，b，c成等比数列
11．（2025高二上·西湖期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025高二上·西湖期末）若，则　 　.
13．（2025高二上·西湖期末）直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为　 　．
14．（2025高二上·西湖期末）已知函数，若当时，，则的最大值是　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025高二上·西湖期末）已知函数及点．
（1）若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程；
（2）若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值．
16．（2025高二上·西湖期末）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）若，求的值．
17．（2025高二上·西湖期末）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
18．（2025高二上·西湖期末）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点．
（1）证明：平面；
（2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当二面角的余弦值为时，求．
19．（2025高二上·西湖期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：A.
【分析】要解决空间四点共面时向量系数的问题，需用到共面向量定理的推论：若空间中四点 ，，， 共面，且对于空间任意一点 ，有，则 .我们的解题思路就是将已知的向量表达式与该推论结合，求出的值.
2．【答案】A
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解： 集合，由，得或，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，所以.
故答案为：A
【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.要解决集合A 和B 相等的问题，需依据集合相等的定义：两个集合中的元素完全相同.所以先找出使B 中元素与A 中元素匹配的可能情况，再逐一验证，排除不符合集合元素互异性的情况.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故答案为：D
【分析】集合相等意味着两个集合中的元素完全相同.所以要让集合B 中的元素与集合A 中的元素一一对应，分情况讨论B 中元素等于A 中元素0 的情况，再结合集合元素的互异性（集合中的元素互不相同）进行验证，从而确定a 的值.
4．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定；异面直线
【解析】【解答】解：在正方体中，可得，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，
又易得是等边三角形，所以，所以，所以直线与所成角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解异面直线所成角的正弦值.解题思路是先求出两条异面直线对应的向量坐标，再计算向量的夹角余弦值，最后根据三角函数关系求出正弦值.
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程：，所以圆的圆心，半径；
圆：的圆心，半径.
选项A：计算圆心距，因为，，且，所以两圆相交，不是相离，A错误.
选项B：两圆相交时，公切线有条，不是条，B错误.
选项C：先求线段的中点坐标，根据中点坐标公式，中点为.再求线段的斜率，则其中垂线的斜率为.利用点斜式可得中垂线方程为，即.又因为两圆半径相等，所以圆与圆关于直线对称，C正确.选项D：将两圆方程相减，，展开可得，化简得，即，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题需要先将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径，再通过分析圆心距、两圆位置关系、公共弦方程以及两圆的对称性来解题.解题思路是依次对每个选项进行判断，利用圆的基本性质和相关公式来验证.
6．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足，可得，
则，即，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，，故.
故答案为：C.
【分析】化简数列的递推关系式，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得.
7．【答案】B
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由双曲线，得，设，
由均在上，为的中点，得，则，
由分别在的左右两支，得，
直线的斜率分别为，，
设直线的倾斜角为，由，得，
由是以为底边的等腰三角形，得，直线的倾斜角为，其斜率，.
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B
【分析】本题可利用点差法结合双曲线的性质，以及等腰三角形的角度关系来求解双曲线的离心率.解题思路是先通过点差法得到直线与直线斜率的关系，再根据等腰三角形的角度条件求出的值，最后计算离心率.
8．【答案】A,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，B不符合题意；
对于C选项，由椭圆的定义可得，则，
所以，，
因为，直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，
所以，，
所以，矩形的面积为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，再利用代入法得出蒙日圆的方程为，再利用椭圆的离心率个数结合椭圆中a，b，c三者的关系式，再结合已知条件得出。再利用点到直线的距离公式得出蒙日圆圆心到直线的距离为，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，进而判断出直线与蒙日圆相切；再利用椭圆的蒙日圆的定义，进而求出椭圆 的蒙日圆的方程；由椭圆的定义可得，所以，，再利用，可得直线的方程为，再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再结合几何法得出 的最小值 ；若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，进而结合勾股定理得出，再利用矩形的面积公式结合均值不等式求最值的方法，得出矩形的面积的最大值，进而找出正确的选项。
9．【答案】B,C,D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：A、，故A错；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的定义依次判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：对于A，取，满足成等差数列，而不成等比数列，A错误；
对于B，由成等比数列，得，则，成等比数列，B正确；
对于C，由成等差数列，得，则，成等比数列，C正确；
对于D，取，成等比数列，显然不成等比数列，D错误.
故答案为：BC
【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质。解题思路是通过举反例来判断选项 A、D 的错误，利用等差中项、等比中项的定义以及指数运算性质来证明选项 B、C 的正确。
11．【答案】A,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：样本空间为，事件，事件，事件，
A.∵，∴与互斥，A正确.
B.∵，∴与不对立，B错误.
C.∵，∴，∵，∴，与相互独立，C正确.
D.∵，∴，∵，∴，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概念，通过分析各事件包含的样本点，结合相关概率公式来判断选项的正确性。解题思路是先确定样本空间和各事件的样本点，再根据互斥、对立、独立事件的定义及概率公式逐一分析选项。
12．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，将代入可得，
故填：
【分析】根据求导公式对函数求导，然后代入计算可得结果.
13．【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：
连接，交于点.在直四棱柱中，平面，平面，所以；又，所以.因为直四棱柱所有棱长均为，，所以四边形是菱形，故.由于，平面，所以平面.那么直线到平面的距离等于点到平面的距离，即的长度（为与交点）.在中，，，所以是等边三角形，，为中点，故.根据勾股定理，.
【分析】 本题可先分析直四棱柱的结构特征，找到直线与平面垂直的关系，进而确定直线到平面的距离所对应的线段，再通过三角形的相关知识计算该线段长度.解题思路是利用直四棱柱侧棱与底面垂直、底面为菱形的性质，证明线面垂直，从而将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，最后在三角形中求解.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，由，得，解得，因此；当时，由，得，解得，因此，因此等价于，依题意，，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】本题需要分别分析函数在和两个区间内满足的的取值范围，然后找到使最大的区间，从而计算出最大值.解题思路是分区间解不等式，再结合区间的包含关系确定最大的区间长度.
15．【答案】（1）解：由点在的图象上，得，求导得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由点P在的图象外，得，则，设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，所以的值为.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【分析】（1）先利用点在函数图象上求出参数a，再求导得到切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；
（2）设出切点，根据导数的几何意义和两点间斜率公式列出方程组，求解得到a的值.
（1）由点在的图象上，得，求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由点P在的图象外，得，则，
设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，
由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，
所以的值为.
16．【答案】（1）解：由题意得，，∴.
（2）解：由（1）得，，∴，∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）求出参数的值，已知函数在时的函数值为，因此可以通过代入法建立方程求解.
（2）需要利用已知的来求的值，可能需要通过三角恒等变换将表达式化简，并结合已知条件求解.
（1）由题意得，，
∴.
（2）由（1）得，
，
∴，
∴.
17．【答案】（1）解：数列中，，当时，，两式相减得，解得，当时，，满足上式，所以的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，，，则，两式相减得，所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1），利用数列前n项和与通项的关系，通过作差法求出时的通项，再验证的情况；
（2），先根据（1）的结果求出的表达式，然后利用错位相减法求出前n项和.
（1）数列中，，
当时，，
两式相减得，解得，当时，，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
，则，
两式相减得，
所以.
18．【答案】（1）解：在四棱锥中，由，得，，则，又，且，所以.
（2）解：由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由为棱的中点，得，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）知，设，则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量为，由，令，得，由二面角的余弦值为，得，即，整理得，解得，所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）证明PD⊥平面ABCD：通过勾股定理验证PD与平面内两条相交直线垂直，进而应用线面垂直判定定理.
（2）求线面角的正弦值：建立空间直角坐标系，利用向量法计算直线PB与平面BDQ的法向量夹角.
（3）求线段比值：引入参数λ表示点Q的位置，通过二面角的余弦值建立方程求解λ，进而得到的值
（1）在四棱锥中，由，
得，，则，
又，且，所以.
（2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由为棱的中点，得，
，设平面的法向量，
则，取，得，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，
设，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，由，令，得，
由二面角的余弦值为，得，
即，整理得，解得，
所以．
19．【答案】（1）解：由题意得，，设，由，得，整理得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：存在，理由如下：设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，则直线，直线，，由得，，点的横坐标，纵坐标，由点在动直线上，得，整理得，同理得，因此是方程的两个根，，则为定值，令，则，代入动直线方程得，，令，得，代入动直线方程得，，即，点代入（1）中轨迹方程得，，解得，所以点的坐标为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）要求点P的轨迹方程，已知点A、B是双曲线的上、下顶点，且满足PBPA.首先需要确定双曲线的顶点坐标，然后利用距离公式建立方程.
（2）判断是否存在点P，使得过P的动直线与双曲线交于M、N两点，且BM与BN的斜率之和为定值.需要结合轨迹方程和斜率条件，通过代数运算验证是否存在满足条件的点P.
（1）由题意得，，设，
由，得，整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）存在，理由如下：
设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，
则直线，直线，，
由得，，点的横坐标，纵坐标，
由点在动直线上，得，
整理得，同理得，
因此是方程的两个根，，
则为定值，令，则，代入动直线方程得，
，令，得，
代入动直线方程得，，即，
点代入（1）中轨迹方程得，，解得，
所以点的坐标为或.
1 / 1浙江省杭州市钱塘区杭四江东2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025高二上·西湖期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：A.
【分析】要解决空间四点共面时向量系数的问题，需用到共面向量定理的推论：若空间中四点 ，，， 共面，且对于空间任意一点 ，有，则 .我们的解题思路就是将已知的向量表达式与该推论结合，求出的值.
2．（2025高二上·西湖期末）设集合，若，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解： 集合，由，得或，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，所以.
故答案为：A
【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.要解决集合A 和B 相等的问题，需依据集合相等的定义：两个集合中的元素完全相同.所以先找出使B 中元素与A 中元素匹配的可能情况，再逐一验证，排除不符合集合元素互异性的情况.
3．（2025高二上·西湖期末）椭圆与椭圆的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为，所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故答案为：D
【分析】集合相等意味着两个集合中的元素完全相同.所以要让集合B 中的元素与集合A 中的元素一一对应，分情况讨论B 中元素等于A 中元素0 的情况，再结合集合元素的互异性（集合中的元素互不相同）进行验证，从而确定a 的值.
4．（2025高二上·西湖期末）已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定；异面直线
【解析】【解答】解：在正方体中，可得，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，
又易得是等边三角形，所以，所以，所以直线与所成角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解异面直线所成角的正弦值.解题思路是先求出两条异面直线对应的向量坐标，再计算向量的夹角余弦值，最后根据三角函数关系求出正弦值.
5．（2025高二上·西湖期末）圆，圆，则圆与（　　）
A．相离 B．有3条公切线
C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程：，所以圆的圆心，半径；
圆：的圆心，半径.
选项A：计算圆心距，因为，，且，所以两圆相交，不是相离，A错误.
选项B：两圆相交时，公切线有条，不是条，B错误.
选项C：先求线段的中点坐标，根据中点坐标公式，中点为.再求线段的斜率，则其中垂线的斜率为.利用点斜式可得中垂线方程为，即.又因为两圆半径相等，所以圆与圆关于直线对称，C正确.选项D：将两圆方程相减，，展开可得，化简得，即，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题需要先将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径，再通过分析圆心距、两圆位置关系、公共弦方程以及两圆的对称性来解题.解题思路是依次对每个选项进行判断，利用圆的基本性质和相关公式来验证.
6．（2025高二上·西湖期末）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足，可得，
则，即，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，，故.
故答案为：C.
【分析】化简数列的递推关系式，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得.
7．（2025高二上·西湖期末）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由双曲线，得，设，
由均在上，为的中点，得，则，
由分别在的左右两支，得，
直线的斜率分别为，，
设直线的倾斜角为，由，得，
由是以为底边的等腰三角形，得，直线的倾斜角为，其斜率，.
所以椭圆的离心率为.
故答案为：B
【分析】本题可利用点差法结合双曲线的性质，以及等腰三角形的角度关系来求解双曲线的离心率.解题思路是先通过点差法得到直线与直线斜率的关系，再根据等腰三角形的角度条件求出的值，最后计算离心率.
8．（2025高二上·西湖期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（　　）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
【答案】A,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，B不符合题意；
对于C选项，由椭圆的定义可得，则，
所以，，
因为，直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，
所以，，
所以，矩形的面积为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，再利用代入法得出蒙日圆的方程为，再利用椭圆的离心率个数结合椭圆中a，b，c三者的关系式，再结合已知条件得出。再利用点到直线的距离公式得出蒙日圆圆心到直线的距离为，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，进而判断出直线与蒙日圆相切；再利用椭圆的蒙日圆的定义，进而求出椭圆 的蒙日圆的方程；由椭圆的定义可得，所以，，再利用，可得直线的方程为，再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再结合几何法得出 的最小值 ；若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，进而结合勾股定理得出，再利用矩形的面积公式结合均值不等式求最值的方法，得出矩形的面积的最大值，进而找出正确的选项。
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025高二上·西湖期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：A、，故A错；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的定义依次判断即可.
10．（2025高二上·西湖期末）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（　　）
A．若a，b，c成等差数列，则成等比数列
B．若a，b，c成等比数列，则成等比数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等比数列
D．若成等比数列，则a，b，c成等比数列
【答案】B,C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：对于A，取，满足成等差数列，而不成等比数列，A错误；
对于B，由成等比数列，得，则，成等比数列，B正确；
对于C，由成等差数列，得，则，成等比数列，C正确；
对于D，取，成等比数列，显然不成等比数列，D错误.
故答案为：BC
【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质。解题思路是通过举反例来判断选项 A、D 的错误，利用等差中项、等比中项的定义以及指数运算性质来证明选项 B、C 的正确。
11．（2025高二上·西湖期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．
【答案】A,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：样本空间为，事件，事件，事件，
A.∵，∴与互斥，A正确.
B.∵，∴与不对立，B错误.
C.∵，∴，∵，∴，与相互独立，C正确.
D.∵，∴，∵，∴，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概念，通过分析各事件包含的样本点，结合相关概率公式来判断选项的正确性。解题思路是先确定样本空间和各事件的样本点，再根据互斥、对立、独立事件的定义及概率公式逐一分析选项。
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025高二上·西湖期末）若，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，将代入可得，
故填：
【分析】根据求导公式对函数求导，然后代入计算可得结果.
13．（2025高二上·西湖期末）直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为　 　．
【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：
连接，交于点.在直四棱柱中，平面，平面，所以；又，所以.因为直四棱柱所有棱长均为，，所以四边形是菱形，故.由于，平面，所以平面.那么直线到平面的距离等于点到平面的距离，即的长度（为与交点）.在中，，，所以是等边三角形，，为中点，故.根据勾股定理，.
【分析】 本题可先分析直四棱柱的结构特征，找到直线与平面垂直的关系，进而确定直线到平面的距离所对应的线段，再通过三角形的相关知识计算该线段长度.解题思路是利用直四棱柱侧棱与底面垂直、底面为菱形的性质，证明线面垂直，从而将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，最后在三角形中求解.
14．（2025高二上·西湖期末）已知函数，若当时，，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，由，得，解得，因此；当时，由，得，解得，因此，因此等价于，依题意，，所以的最大值为.
故答案为：
【分析】本题需要分别分析函数在和两个区间内满足的的取值范围，然后找到使最大的区间，从而计算出最大值.解题思路是分区间解不等式，再结合区间的包含关系确定最大的区间长度.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025高二上·西湖期末）已知函数及点．
（1）若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程；
（2）若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值．
【答案】（1）解：由点在的图象上，得，求导得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由点P在的图象外，得，则，设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，所以的值为.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【分析】（1）先利用点在函数图象上求出参数a，再求导得到切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；
（2）设出切点，根据导数的几何意义和两点间斜率公式列出方程组，求解得到a的值.
（1）由点在的图象上，得，求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由点P在的图象外，得，则，
设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，
由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，
所以的值为.
16．（2025高二上·西湖期末）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，∴.
（2）解：由（1）得，，∴，∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）求出参数的值，已知函数在时的函数值为，因此可以通过代入法建立方程求解.
（2）需要利用已知的来求的值，可能需要通过三角恒等变换将表达式化简，并结合已知条件求解.
（1）由题意得，，
∴.
（2）由（1）得，
，
∴，
∴.
17．（2025高二上·西湖期末）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：数列中，，当时，，两式相减得，解得，当时，，满足上式，所以的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，，，则，两式相减得，所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1），利用数列前n项和与通项的关系，通过作差法求出时的通项，再验证的情况；
（2），先根据（1）的结果求出的表达式，然后利用错位相减法求出前n项和.
（1）数列中，，
当时，，
两式相减得，解得，当时，，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
，则，
两式相减得，
所以.
18．（2025高二上·西湖期末）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点．
（1）证明：平面；
（2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当二面角的余弦值为时，求．
【答案】（1）解：在四棱锥中，由，得，，则，又，且，所以.
（2）解：由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由为棱的中点，得，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）知，设，则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量为，由，令，得，由二面角的余弦值为，得，即，整理得，解得，所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）证明PD⊥平面ABCD：通过勾股定理验证PD与平面内两条相交直线垂直，进而应用线面垂直判定定理.
（2）求线面角的正弦值：建立空间直角坐标系，利用向量法计算直线PB与平面BDQ的法向量夹角.
（3）求线段比值：引入参数λ表示点Q的位置，通过二面角的余弦值建立方程求解λ，进而得到的值
（1）在四棱锥中，由，
得，，则，
又，且，所以.
（2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由为棱的中点，得，
，设平面的法向量，
则，取，得，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，
设，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，由，令，得，
由二面角的余弦值为，得，
即，整理得，解得，
所以．
19．（2025高二上·西湖期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，设，由，得，整理得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：存在，理由如下：设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，则直线，直线，，由得，，点的横坐标，纵坐标，由点在动直线上，得，整理得，同理得，因此是方程的两个根，，则为定值，令，则，代入动直线方程得，，令，得，代入动直线方程得，，即，点代入（1）中轨迹方程得，，解得，所以点的坐标为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）要求点P的轨迹方程，已知点A、B是双曲线的上、下顶点，且满足PBPA.首先需要确定双曲线的顶点坐标，然后利用距离公式建立方程.
（2）判断是否存在点P，使得过P的动直线与双曲线交于M、N两点，且BM与BN的斜率之和为定值.需要结合轨迹方程和斜率条件，通过代数运算验证是否存在满足条件的点P.
（1）由题意得，，设，
由，得，整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）存在，理由如下：
设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，
则直线，直线，，
由得，，点的横坐标，纵坐标，
由点在动直线上，得，
整理得，同理得，
因此是方程的两个根，，
则为定值，令，则，代入动直线方程得，
，令，得，
代入动直线方程得，，即，
点代入（1）中轨迹方程得，，解得，
所以点的坐标为或.
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