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3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式(一)
最新课程标准
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．体会等比数列与指数函数的关系．
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题
学科核心素养
1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象)
2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算)
3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算)
4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象)
5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
导学
[教材要点]
要点一　等比数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列
总结　(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0\”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起\”是因为首项没有“前一项\”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
(3)定义中的“同一个常数\”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．
要点二　等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0)．
总结　
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn-1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
[练习]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)
(2)数列－1，1，1，－1，…是等比数列．(　　)
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)
(4)常数列一定为等比数列．(　　)
2．(多选题)下列数列不是等比数列的是(　　)
A．2，22，3×22，…
B．，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0，0，0，…
3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．4
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________．
导思
题型一　等比数列的基本运算
例1　在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
总结　(1)由＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝a1qn-1.
(2)两个条件列出关于a1，q的方程组，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手．
总结
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪训练1　
(1)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
(2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
题型二　等比数列与函数
例2　已知是等比数列{an}图象上的两点，求数列{an}的通项公式并判断{an}的单调性．
总结
等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
跟踪训练2　已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
题型三　等比数列的判定
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
变式探究　将本例中条件换为“数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1”，求证：{an＋1}是等比数列，并求an.
总结
(1)定义法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，将关系式代入后证明或(n≥2)为常数．
②涉及Sn与an的式子，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判断an，an－1或an＋1，an的关系证明．
(2)通项公式法：an＝a1qn-1(a1，q为非零常数，n∈N＋) {an}为等比数列．
跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，a≠1，n∈N＋)，试判断{an}是否为等比数列，请说明理由．
易错辨析　忽视q>0这一隐含条件致错
例4　若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q＝________．
解析：由题意知a1a2＝16，a2a3＝162，
∴q2＝＝16，
∴q＝±4.
又∵此等比数列中隐含相邻的项同号，
∴q>0，
∴q＝4.
答案：4
【易错点】
出错原因 纠错心得
没考虑到此等比数列中隐含相邻的项同号，致使错填为：±4. 在处理等比数列的项或公比问题 时，一定要注意数列的首项及公比的正负情况，总之要养成检验意识．
[课时训练]
1．观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A．数列1，2，6，18，54，…
B．数列{an}中，已知＝2
C．数列{an}中，＝n，其中n∈N＋
D．数列{an}中，＝－1，其中n∈N＋
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D．
3．在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an＋1.试说明数列{an}是等比数列，并求出其通项公式.
0]
3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式(一)
导学
要点二
a1qn-1
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：≠，A不是等比数列；＝…，B是等比数列；当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝3，
∴q＝，∴a3＝＝2，故选B.
答案：B
4．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n-1或an＝(－2)·(－2)n-1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
答案：－2n或(－2)n
导思
题型一
例1　解析：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝，所以an＝a1qn-1＝.
(2)方法一：由已知可得
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26-n＝20，所以n＝6.
方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn-1＝1，得n＝6.
跟踪训练1　解析：(1)a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，
即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故选B.
(2)设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B.
答案：(1)B　(2)B
题型二
例2　解析：由题意知a2＝
∴q3＝
∴q＝
∴an＝a2·qn-2＝
∴a1＝3
∵a1>0，0∴数列{an}单调递减．
跟踪训练2　解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1
∴2an＋2an·q2＝5an·q
即2q2－5q＋2＝0
解得q＝2或q＝
∵等比数列{an}为递增数列
∴q＝2
又＝a10＝a5·q5
∴a5＝25＝32
∴32＝a1q4＝a1·24
∴a1＝2
∴an＝2×2n-1＝2n.
答案：2n
题型三
例3　解析：(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
变式探究　解析：由an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，
∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×2n-1＝2n，
∴an＝2n－1.
跟踪训练3　解析：数列{an}是等比数列，
理由如下：
a1＝S1＝a2－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n-2－1)＝(a2－1)a2n-2
当n＝1时，a1＝a2－1，符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n-2(n∈N＋)
即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．
[课时训练]
1．解析：A选项不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B选项不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，不一定也等于2，故它不一定是等比数列；C选项不是等比数列，n不是定值；D选项是等比数列，满足等比数列的定义．故选D.
答案：D
2．解析：由a2＝2，a5＝，
知q3＝，
∴q＝.
故选D.
答案：D
3．解析：等比数列{(－1)n}的公比q＝－1，为摆动数列，不具有单调性．由公比q<1知等比数列{an}不可能为常数列．等比数列是递减数列，等比数列是递增数列．
故选D.
答案：D
4．解析：∵＝q3＝8，∴q＝2，a6＝a1q5＝1×25＝32.
答案：32
5．解析：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1,
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1＋1－2an－1＝2an＋1－2an,
∴－an＋1＝－2an，即an＋1＝2an
∴数列{an}是以2为公比的等比数列.
∵a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
∴an＝－1·2n-1＝－2n-1.

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