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第十四章 全等三角形
14.2.5 直角三角形全等的判定(HL)
学习目标
1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理
2.能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等，能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题
3.通过画图、比较、验证，培养学生的观察、归纳能力,发展学生的几何直观感知能力与推理能力及不断总结的良好思维习惯
重点：判定两个直角三角形全等
难点：发展学生的几何直观感知能力与推理能力
复习导入
如果要使△ABC和△DEF全等，在下列各种情况下还要添加哪些条件?
AB=DE,∠B= ∠ E (2)∠ A= ∠ D, ∠ C= ∠ F
(3) AB=DE,BC=EF
A
C
B
D
E
F
如果△ABC和△DEF都是直角三角形， ∠ A= ∠ D=90°，上述问题是否还需要添加的条件？
感悟新知
知识点1
直角三角形全等的判定(HL)
如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗?
A
B
C
┐
A '
B '
C '
┐
（C ' ）
C
┐
A（A ' ）
B(B')
感悟新知
知识点1
直角三角形全等的判定(HL)
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
“HL”判定方法应用要先特指直角三角形
“HL”判定方法中两条边特指斜边与一条直角边
注意：两个直角三角形如果是两条直角边对应相等则要用“SAS”方法判定
针对训练
1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
ASA
SAS
AAS
AAS
A
B
C
A ′
B′
C ′
典例解析
题型1
运用HL证明直角三角形全等
例 1. 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
C
D
B
A
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C =∠D = 90°.
∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL）
AB = BA（公共边）
AC = BD（已知）
∴ BC = AD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∵
变式
如果AC与BD交于O点，求证： Rt△ BOC ≌ Rt△ AOD
O
针对训练
2.如图,已知BE⊥CD于点E,且BE=DE,BC=DA,延长DA交BC于点F.求证:
(1)△BEC≌△DEA;
(2)BC⊥FD.
证明:(1)∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEA=90°.
在Rt△BEC和Rt△DEA中,
????????=????????,????????=????????,
∴Rt△BEC≌Rt△DEA(HL).
?
(2)由(1)知△BEC≌△DEA,
∴∠B=∠D.
又∵∠C+∠B=90°,
∴∠C+∠D=90°,
即∠BFA=90°,
∴BC⊥FD.
针对训练
3.如图,AC⊥AD,BC⊥BD,AC=BD,求证:AD=BC.
证明:如答案图,连接DC.
∵AC⊥AD,BC⊥BD,
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中,????????=????????,????????=????????,
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL),
∴AD=BC.
?
针对训练
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图1),且AD=CE,求证:AB⊥AC;
(2)若点B,C在DE的两侧(如图2),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
????????=????????,????????=????????,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠DAB=90°,
∴∠BAC=180°-(∠EAC+∠DAB)=90°,
∴AB⊥AC.
?
(2)解:AB⊥AC.证明如下:
同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
针对训练
5.如图,已知DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AD=CB,DE=BF,求证:AB∥DC.
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEA=∠BFC=∠DEC=∠BFA=90°.
在Rt△ADE和Rt△CBF中,????????=????????,????????=????????,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),
∴AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ABF和△CDE中,????????=????????,∠????????????=∠????????????,????????=????????,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC.
?
针对训练
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在边AC上,连接DF.
(1)求证:AC=AE; (2)若DF=DB,试说明∠B与∠AFD的数量关系;
(3)在(2)的条件下,若AB=m,AF=n,求BE的长.(用含m,n的代数式表示)
(1)证明:∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠AED=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
在△ACD和△AED中,∠????=∠????????????,∠????????????=∠????????????,????????=????????,
∴△ACD≌△AED(AAS),
∴AC=AE.
?
(2)解:∠B+∠AFD=180°.理由如下:
由(1)知,△ACD≌△AED,∴DC=DE.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,????????=????????,????????=????????,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴∠CFD=∠B.
∵∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠B+∠AFD=180°.
?
针对训练
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在边AC上,连接DF.
(1)求证:AC=AE; (2)若DF=DB,试说明∠B与∠AFD的数量关系;
(3)在(2)的条件下,若AB=m,AF=n,求BE的长.(用含m,n的代数式表示)
(1)证明:∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠AED=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
在△ACD和△AED中,∠????=∠????????????,∠????????????=∠????????????,????????=????????,
∴△ACD≌△AED(AAS),
∴AC=AE.
?
(2)解:∠B+∠AFD=180°.理由如下:
由(1)知,△ACD≌△AED,∴DC=DE.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,????????=????????,????????=????????,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴∠CFD=∠B.
∵∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠B+∠AFD=180°.
?
(3)解:由(2)知,Rt△CDF≌Rt△EDB,∴CF=BE.由(1)知,AC=AE.∵AB=AE+BE,
∴AB=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE.∵AB=m,AF=n,∴BE=????????(m-n).
?
归纳小结
两个直角三角形全等的判定思路
已知
可选方法
寻找对应相等的条件
一锐角（A）
斜边（H/S）
ASA
直角与已知锐角的夹边
AAS
已知锐角(或直角)的对边
HL
一直角边
一锐角
AAS
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}一
直角边（L/S）
HL
斜边
ASA
已知边相邻的锐角
AAS
已知边所对的锐角
SAS
另一直角边
作业布置
课堂作业:P43习题14.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目)
家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上；
(写清日期和题号，不抄题目)

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