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江苏省镇江市2025年中考数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1．计算的结果是（ ）．
A．5 B． C．1 D．
2．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ）．
A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）．
A． B． D． C．
6．一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）．
A．82 B．84 C．85 D．87
7．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）．
A．或 B． C． D．
9．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）．
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果汽车加油30升记作+30升，那么用去油10升，记作_____．
12．如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____．
13．分解因式：_____．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
15．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____．
16．如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____．
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分5分）计算：．
18．（本题满分5分）解方程：．
19．（本题满分6分）如图，已知，边与分别交于点与交于点．求证：．
20．（本题满分6分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
21．（本题满分6分）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
22．（本题满分6分）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似地表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
23．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
（1）求点、的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
24．（本题满分10分）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）已知，在你所作的中，若，求的长．
25．（本题满分10分）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
26．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
（1）二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数（h、k为常数）的图像经过点（6，1），若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
参考答案
1. C
2. A
3. A
4. B
5. D
6. B
7. D
8. A
9. C
10. D
11. - 10升
12.
13. x(x+5)
14. ±2
15. 337.5
16. 2
17. 4
19.
【详解】解: ∵△ABC≌△DEF ,
∵OB=OE,
∴BC-OB=EF-OE, 即OC=OF,
在△MOF和△NOC中,
∴△MOF≌△NOC(ASA).
20.解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种，
则摸出标有数字2和3的两个球的概率为
答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为-
21.解: 如图, 过点B作BC⊥OP于点C,
由题意得: BA⊥OA,OA⊥OP, AB+BP=10尺, OP=9尺, OA=3尺,
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=3尺, OC=AB,
设OC=AB=x尺, 则CP=OP-OC=(9-x)尺, BP=(10-x)尺,
在Rt△BCP中，由勾股定理得： 即
解得x=5,
即AB=5尺,
答：折断处B离地面5尺.
22. (1) 解: (69.6-53)÷53×100%≈31%
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%：
(2) 解: 将A(2019,45.3), B(2024,104.5)代入y= kx+b得,
解得
∴y=11.84x-23859.66;
其中k的实际意义为 2018-2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84 万个：当x=2025时, y=11.84×2025-23859.66=116.34≈116.3,
∴预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个.
23. (1)解：∵点A的横坐标为-1，且点A在反比例函数 的图象上，代入得：
∴A(-1,2),
作AF⊥x轴, BN⊥x轴, 如图,
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACF+∠BCN=90°,
∵∠CBN+∠BCN=90°,
∴∠ACF=∠CBN,
∵∠AFC=∠BNC=90°,
∴△AFC~△CNB,
∵AC=2BC,
∵A(-1,2), 点C的坐标为(3,0),
∴ON=OC+CN=4,
∴B(4,2),
∵B(4,2)在反比例函数 的图像上，代入得：
k=2×4=8,
∴反比例函数解析式为
(2)解：∵D、E分别在反比例函数 和 的图像上，
∴设
∵A(-1,2), B(4,2),
∴AB∥x轴, 且AB=5,
∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，
∴AB∥DE, 且DE=AB, 如图,
∴DE∥x轴, 且DE=5,
由②得: a=-4b,
代入①得: |-4b-b|=5
则a=-4,
∴D(-4,-2),E(1,-2).
故答案为: D(-4,-2),E(1,-2).
24.(1) 证明: ∵MA,MB是⊙O的两条切线, 切点是A,B,
∴∠OMA=∠OMB, OB⊥MB,
∴∠OMB+∠BOM=90°,
∵PF⊥MF,
∴∠OMA+∠P=90°,
∴∠BOM=∠P,
由对顶角相等得: ∠BOM =∠POE,
∴∠P=∠POE,
∴OE=PE,
∴△EOP是等腰三角形.
(2) 解: 如图, 满足OP=OF 的△EOP即为所作.
(3)解：如图，过点E作 于点C, 过点F作FD⊥MP于点D,
∵MA,MB是⊙O的两条切线, 切点是A,B,
∵PF⊥MF, OP=OM,
∴OF=OP=OM,
∴∠OMA=∠OFM,
∴∠POF=∠OMA+∠OFM =2∠OMA=∠AMB,
在Rt△ODF 中,
设OF=OP=OM=3x(x＞0),则
∴DP=OP-OD=x,
∵PF=2,
∴在Rt△PDF中, 即
解得 或 (不符合题意，舍去)，
∵在等腰△EOP中, OE=PE, EC⊥MP,
又∵EC⊥MP, FD⊥MP,
∴EC∥FD,
∴△PDF∽△PCE,
即
解得PE=3,
∴OE=3.
25.解：[探究](1)主动轮每分钟转ω 圈，则每分钟啮合的齿数有n v 个，从动轮每分钟转ω 圈，则每分钟啮合的齿数有n w 个，
故答案为：
(2)从动轮的转速为 (圈/分钟),
“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致，
∴从动轮的转速为每分钟160圈：
[发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮.
26.(1) 解: ①当 时，
∴当t=2时, EF=4,
此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF=6，满足题意；当 时，
∴当点P在线段EF上时, PE+PF=EF=6, 满足题意:
当t=5时,
∴直线EF上不存在点P使PE+PF=6，不满足题意：
综上：使该函数图像有T~6生长点的t的值是2，
②猜想 理由如下：
∵点P在直线EF上，
∴n=t,
由(1) 知: 当 时，此时
∴当 时, EF＞6, 此时直线EF上不存在点P使PE+PF=6,
又∵过点T(0，t)作y轴的垂线与 的图像交于点E，F，而 的最小值为y=0，
∴n＞0;
(2)∵二次函数 (h、k为常数) 的图像经过点(6,1),
∵P(3,5)是该函数图像的T~6生长点,
∴t=5,
当 时，则：
①当点 P在线段EF 上时，则：
解得
把 代入 得: h=5或h=7,
当h=5时, E(2,5),F(8,5), 满足题意:
当h=7时, E(4,5),F(10,5), 此时点P不在线段EF上, 不符合题意, 舍去:
②当点P在点E的左侧时，则：
把h=6,代入 得：k=1,
此时 符合题意：
③当点P在点F 的右侧时，则：
∴h=0,
把h=0, 代入 得: k=-17,
此时 点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去：
综上： 或

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