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§5　简单复合函数的求导法则
最新课程标准 学科核心素养
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算) 3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
导学
[教材要点]
要点一　复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成____________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记作____________，其中u为中间变量．
要点二　复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝____________．即y对x的导数是__________________．
总结　(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
[练习]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．(　　)
(2)函数f(x)＝的导数是f′(x)＝.(　　)
(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.(　　)
(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.(　　)
2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(　　)
A．y＝ln (x－2)　　　　　 B．y＝ln x＋x－2
C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
3．若函数f(x)＝3cos ，则f′等于(　　)
A．－3 B．3
C．－6 D．6
4．曲线y＝在点(0，1)的切线方程为________．
导思
题型一　求复合函数的导数
例1　求下列函数的导数
(1)y＝；
(2)y＝cos (2 021x＋8)；
(3)y＝e1-3x；
(4)y＝ln (2x－6)．
总结
复合函数求导的步骤
跟踪训练1　(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝；
(3)y＝sin ；
(4)y＝102x+3.
题型二　复合函数的导数与曲线的切线问题
例2　(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为__________．
总结
准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
跟踪训练2　
(1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为________；若直线l与圆 C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为
________________________________________________________________________．
题型三　复合函数的导数在实际问题中的应用
例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
总结
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
跟踪训练3　放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
易错辨析　对复合函数求导不完全致错
例4　函数y＝xe1-2x的导数y′＝________．
解析：y′＝e1-2x＋x(e1-2x)′
＝e1-2x＋xe1-2x·(1－2x)′
＝e1-2x＋xe1-2x(－2)
＝(1－2x)e1-2x.
答案：(1－2x)e1-2x
【易错点】
出错原因 纠错心得
对e1-2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错． 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．
[课时训练]
1．y＝5的导数是(　　)
A．5
B．
C．10
D．5
2．函数y＝e2x-4在点x＝2处的切线方程为(　　)
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0
D．ex＋y＋2e－1＝0
3．(多选题)下列导数运算正确的有(　　)
A．′＝
B．′＝(x＋1)ex
C．′＝2e2x
D．′＝
4．已知f(x)＝sin ，则f′＝____________．
5．设函数f(x)＝aex ln x＋.
(1)求导函数f′(x)；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
0]
§5　简单复合函数的求导法则
导学
要点一
x的函数　复合函数　y＝f(φ(x))
要点二
yu′·ux′　y对u的导数与u对x的导数的乘积
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.
答案：AD
3．解析：由题意得f′(x)＝－6sin ，
∴f′＝－6sin
＝6sin
＝6×
＝3.
答案：B
4．解析：∵y＝e－x，
∴y′＝－e－x，
∴y′|x＝0＝－1，
∴切线方程为y－1＝－x，
即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
导思
题型一
例1　解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u-4，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u-4)′·(3－4x)′＝(－4u-5)·(－4)＝.
(2)设u＝φ(x)＝2 021x＋8，则y＝f(u)＝cos u，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cos u)′·(2 021x＋8)′
＝(－sin u)·2 021
＝－2 021sin (2 021x＋8)．
(3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝eu，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(eu)′·(1－3x)′＝eu·(－3)＝－3e1-3x.
(4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝ln u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(ln u)′·(2x－6)′＝.
跟踪训练1　解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝′·(1－2x)′＝·(－2)
＝.
(3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sin u，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sin u)′·′＝cos u·(－2)
＝－2cos .
(4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u，
∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10 u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln 10)×2＝(2ln 10)102x+3.
题型二
例2　解析：(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x-1－x，所以f(－x)＝ex-1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex-1＋x，f′(x)＝ex-1＋1，f′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.
(2)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝，解得a＝.
答案：(1)2x－y＝0　(2)
跟踪训练2　解析：(1)令y＝f(x)，
则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(eax)′＝aeax.
所以f′(0)＝ae0＝a，
故a＝2.
(2)f′(x)＝2ax＋(x<2)，
∴f′(1)＝2a－2　又f(1)＝a，
∴切线l的方程为：y－a＝(2a－2)(x－1)，
即2(a－1)x－y＋2－a＝0.
若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
则圆心到直线l的距离d＝<.
解得a>，即实数a的取值范围为.
答案：(1)2　(2)2(a－1)x－y＋2－a＝0　
题型三
例3　解析：设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝.
由复合函数求导法则得
s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·cos .
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos (m/h)．
它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
跟踪训练3　解析：M′(t)＝，
由M′(30)＝＝－10ln 2，
解得M0＝600，
所以M(t)＝，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝＝150(太贝克)．故选D.
答案：D
[课时训练]
1．解析：令u＝3x2＋2x，则y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，
∴y′x＝y′u·u′x＝5.故选A.
答案：A
2．解析：∵y＝e2x-4，求导得y′＝2e2x-4，
则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.
又当x＝2时，y＝e2x-4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．
所以切线方程为2x－y－3＝0.
故选A.
答案：A
3．解析：对于A，′＝′＝－x-2＝－，故错误；
对于B, ′＝x′ex＋x′＝(x＋1)ex，故正确；
对于C, ′＝′e2x＝2e2x，故正确；
对于D, ′＝′，故错误．
故选BC.
答案：BC
4．解析：由f(x)＝sin ，可得f′(x)＝cos ′＝，
故f′.
答案：－
5．解析：(1)由f(x)＝aex ln x＋，
得f′(x)＝(aex ln x)′＋′
＝aex ln x＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，
将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，
∴b＝2.
将x＝1代入导函数f′(x)中，
得f′(1)＝ae＝e，
∴a＝1.

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