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课时3 立方根
2.2 平方根与立方根
1.了解立方根的概念，会表示一个数的立方根；
2.了解平方根与立方根之间的区别；
3.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一个数的立方根.
如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积 216 cm3 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？
思考： 想一想这个计算过程有何特点？
解：∵魔方是由 27 个小正方体组成，
∴每个小正方体的体积为 217÷27＝8(cm3)，
∵ 23＝8，
∴每个小正方体的棱长是 2 cm 。
23＝ ；
(－2)3＝ ；
0.53＝ ；
(－0.5)3＝ ；
233＝ ；
?
?233＝ ；
?
03＝ ；
8
－8
0.125
－0.125
827
?
?827
?
0
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗?
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗?
活动1：算一算
探究点一：立方根的概念及性质
立方根的概念
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)。
如 2 是 8 的立方根， 是 的立方根， 0 是 0 的立方根 .
(3) 正数有几个立方根? 0 有几个立方根 ? 负数呢 ?
【思考】(1) 一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢 ?
(2) 求 8 ，0 ，-27 的立方根。
一个数的立方根只有一个。
8 的立方根是 2； 0 的立方根是 0；-27 的立方根是-3。
正数有一个立方根；0 有一个立方根；
负数有一个立方根。
根指数
被开方数
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
读作：三次根号 a，
立方根的表示
x3 ＝7
x =37
?
每个数 a 都有一个立方根，记作 ，
x 是 7 的立方根
根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －1，所以 －1 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
0
1
-1
0
-1
0.5
0.5
?827
?
?827
?
你能发现正数的立方根有什么特点吗? 负数呢? 0 的立方根是多少?
练一练
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。
x =3????
?
x3 = a
开立方
立方运算
知识要点
平方根
立方根
性
质
正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围

两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
例1 求下列各数的立方根：
(1) －27；
(2)
解：因为(-3)3 ＝-27，
所以 -27 的立方根是 -3，
即 .
解：因为 ，
所以 的立方根是 ，
即 .
解：-5 的立方根是
(3) 0.216；
(4) -5.
解：因为 (0.6)3＝0.216，
所以 0.216 的立方根是 0.6，
即 .
思考：(1) 各题中被开方数有什么关系?
(2) 这些数的立方根有什么关系?
(3) 根据计算结果，可以得到什么初步结论?
(2)因为3?27 =___，327 =___，所以 3?27 ___ ?327 ；
?
(1)因为 3?1 =____，31 =____，所以 3?1 ___ ?31 ；
?
–1
1
=
–3
3
=
活动2：计算：
(3)因为 3?43 =___，343 =____，所以 3?43 __ ?343。
?
–4
4
=
互为相反数
互为相反数
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
讨论：(1) 3???? 表示 a 的立方根，那么 (3????)? 等于什么?
3????? 等于什么?
(2) 3????? 与 ?3???? 有什么关系?
?
(1) (3????)? ＝a，3?????＝a.
?
(2) 相等.
要点归纳：结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 3????? ＝?3????.
结论2：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”
的结果相等，都等于原数，
即 (3????)?＝3?????＝a.
?
例2 求下列各式的值：
解：

1. －125的立方根是(　C　)
A. ±5
B. 5
C. －5
C
2. 填空：
(1) 343 的立方根是 ?；
(2) －11000 的立方根是?　－110 　；
(3) 0.125 的立方根是 ?；
(4) －6 的立方根是 ?.
?
7　
－110 　
?
0.5　
3?6 　
?
3. 求下列各式的值：
(1)378?1 ； (2)(3?8)3； (3)－3?216 .原式＝6.
?
解：(1)原式＝－12 .
?
(2)原式＝－8.
(3)原式＝6.
4. 求下列各式中x的值：
(1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729.
解：(1)x＝－0.3.
(2)x＝11.
5. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
解：设这个正方体的棱长为acm，
则依题意得a3＝9×3×4×2＝216，
解得a＝6.
故这个正方体的棱长为6cm.
解：设这个正方体的棱长为acm，
则依题意得a3＝9×3×4×2＝216，
解得a＝6.
故这个正方体的棱长为6cm.
若 = 2， = 4，求 的值.
解：因为 = 2， = 4，
所以 x = 23，y2 = 16，
所以 x = 8，y = ±4.
所以 x + 2y = 8 + 2×4 = 16，或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0.
所以 的值是 4 或 0.
拓展提升
立方根
概念
开立方
性质
表示方法
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)
a 的立方根记为3????
?
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数
求一个数的立方根的运算

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