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下列图形是等腰三角形吗？
如何识别三角形是不是等腰三角形？
12.3.2 等腰三角形的判定
1.证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.
2.能用等腰(边)三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.
1.如图∠B=∠C=70°,延长∠B和∠C的边交于点A.
2.用刻度尺测量一下AB和AC的长度.
3.用刻度尺找出边BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折
观察边AB与AC是否重合 ？
A
B
C
D
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
操作
AB = AC
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC.
A
B
C
思考︰（1）证明两条线段相等常用什么方法？
（2）有哪些构造全等三角形的方法？
D
1
2
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
在△BAD与△CAD中，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).
还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简写成“等角对等边”.
等边对等角
等角对等边
A
B
C
几何语言
在△ABC中，
∵∠B=∠C(已知)，
∴AB=AC(等角对等边).
即△ABC为等腰三角形.
如图，下列推理正确吗？
∵∠1=∠2，
∴BD=DC(等角对等边).
∵∠1=∠2，
∴DC=BC(等角对等边).
【注意】“等角对等边”的前提是在同一个三角形中.
小试牛刀
例1 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.
求证：AB=AC.
A
B
C
40°
70°
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∠A=40°，∠B=70°，
∴∠C=180° ∠A ∠B
=180° 40° 70°=70°.
∴∠C=∠B.
∴AB=AC(等角对等边).
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
等边三角形的两个判定定理：
A
B
C
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B，
∴ AC = BC.
∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
证一证
判定2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
证一证
例2 如图，AB∥CD，∠1=∠2. 求证：AB=AC.
A
B
C
D
2
1
分析：要证 AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠1.
∴AB=AC(等角对等边).
例3 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′
=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
B′
C′
A′
B
A
B
C
C′(C )
A′(A )
证明：由于直角边AC=A′C′，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A′C′的两侧，如图所示.
C′(C )
A′(A )
B′
B
∵∠A′C′B=∠A′C′B′=90°，
∴∠B′C′B=∠A′C′B′ +∠A′C′B=180°，即点B′、C′、B在同一条直线上.
在△A′B′B中，
∵A′B′=AB=A′B，
∴∠B=∠B′(等边对等角).
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′，AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS).
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，△ABC是 三角形
等腰
3.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
2.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
9
4. 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB=EC.
B
A
E
D
C
证明：在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等).
∴EB=EC(等角对等边).
5. 如图，∠A=∠B，CE∥DA. 求证：CE=CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形
B
A
D
C
E
证明：∵CE∥DA，
∴∠A=∠CEB(两直线平行，同位角相等).
∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.
∴CE=CB(等角对等边).
增加条件∠A=60°时，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）.
等腰三角形
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°

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