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(共19张PPT)
如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
房子该建在哪儿呢？
12.4.3 角平分线
1. 理解角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？简要给出证明依据
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
D
P
A
C
B
E
O
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.
求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，
∴ ∠DOP =∠BOP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，
∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
应用格式：
∵ OC 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
D
P
A
C
B
E
O
已知：如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BF与CE交于点D，AD平分∠BAC．
求证：BD=CD
D
B
E
F
C
A
证明：∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DF=DE
∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DFC=∠DEB=90°
在△DFC和△DEB中
∵∠DFC=∠DEB， DF=DE，∠FDC=∠EDC
∴ △DFC≌△DEB （ASA），∴CD=BD
活学活用
探索 角平分线的性质反过来会有什么结果？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP（公共边），
PD = PE（已知），
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ).
(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠DOP =∠EOP
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
B
A
D
O
P
E
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理
D
P
A
C
B
E
O
应用所具备的条件：
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
怎样证明这个结论呢 简要说说你的思路
A
B
C
试一试
O
F
E
D
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
AO 是∠BAC 的平分线
BO 是∠ABC 的平分线
OI = OH
OG = OI
OH = OG
点O在∠BCA的平分线上
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
证明：过点O作OI⊥AB，OG⊥BC， OH⊥AC,
垂足分别为I、G、H.
∵AD是△ABC的角平分线，点O在AD上（已知）,
∴OI=OH（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 OI=OG.
∴ OG=OH（等量代换）.
∴ 点O在∠BCA的平分线上.
已知：如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O.
求证：点O也在∠BCA的平分线上.
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
2.如图，BE = CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB =∠DFC =90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠BDE =∠CDF，
∠DEB =∠DFC，
BE = CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE = DF(全等三角形对应边相等).
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
活学活用
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA = PB
B．PO平分∠APB
C．OA = OB
D．AB垂直平分OP
D
2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
E
B
D
F
A
C
G
3. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，
DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么线段 BE 是∠ABC 的　 ，
AE + DE = cm.
A
B
E
D
C
60
BF
角平分线
6
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = FD. 求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∠C＝90°，∴ CD＝DE.
∵ 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
CD = ED，FD = BD，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( HL).
∴ CF = EB.
C
F
A
E
D
B

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