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第十五章轴对称单元基础卷
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.【原创题·传统文化】甲骨文是我国的一种古老文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，下列甲骨文中，是轴对称图形的是 ( )
2.下列说法错误的是 ( )
A.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
B.全等的两个三角形一定关于某直线对称
C.轴对称图形的对称轴至少有一条
D.线段是轴对称图形
3.(山东滨州校级期中)若点P(-2，3)关于y轴的对称点为Q(a，b)，则点Q的坐标为 ( )
A.(-2,-3) B.(2、3) C.(2.-3) D.(3.-2)
4.(山东青岛莱西期中)下列条件不能得到等边三角形的是 ( )
A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形
C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形
5.(教材P70第4题改编)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E,连接AE.若AD=4、△ACE的周长为15,则△ABC的周长为( )
A.23. B.29
C.30 D.34
6.(易错题)有两条线段的长度分别是5cm和10cm，如果再选取一条线段与其构成等腰三角形，则选取的线段长为 ( )
A.5cm或10cm B.6cm C.5cm D.10cm
7.(教材P80第2题改编)如图.△ABC中,∠A=30°. AB=AC. D,E分别是AC,AB上的点,且BD=BE=BC,连接DE、则∠BDE的度数为 ( )
A.45° B.52.5° C.67.5° D.75°
8.(广东佛山南海模拟)如图，等边三角形ABC的边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE、连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9.如图,在△ABC中, AC=BC,点D是AB边的中点、连接CD.若∠ACB=46°,则∠ACD= .
10.已知点P(a-1,6)和点Q(3. b-1)关于x轴对称,则a+b的值等于 .
11.(山东烟台福山期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,点D是BC边上任意一点,过点D作DF∥AB交AC于点E,则∠FEC的度数是 °.
12.(教材P85第9题改编)如图，一艘轮船以每小时30n mile的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2h后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，轮船的航程AD是 n mile.
13.(易错题)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC上的中线BD将△ABC的周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边BC长为 .
14.【新趋势·动点探究题】如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点,且AD=6,则EP+CP的最小值是 .
三、解答题(本大题共5小题，共52分)
15.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC=BD,DA=DC,求∠B的度数.
16.(10分)(教材P77第8题改编)已知在平面直角坐标系中有A(-5,2),B(-3,5),C(2,-2)三点.请回答下列问题：
(1)在如图所示的坐标系内画出与 关于y轴对称的图形. ，并直接写出各个顶点的坐标；
与 对应点的坐标的关系是 ；
(3)求 的面积.
17.(10分)(易错题)小刚准备用一段长41m的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知三角形第一条边长为 am，第二条边长比第一条边长的3倍少4m.
(1)请用含a的式子表示第三条边的长度；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边的长.
18.(12分)如图,在 中,DM、EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=3cm,求 的周长；
(2)若 求 的度数.
19.(12分)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且.ED=EC.
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，请你确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.(提示：过点E作. ，交AC于点F.请你完成下面的解答过程)
第十五章基础卷
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1—5DBBAA 6—8 DCC 9.23° 10.-111.130 12.90 13.16或8 14.6
1. D 2. B 3. B 4. A
5. A 解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,AB=21D=8.∵△ACE的周长是15,∴AC+BC=AC+BE+CE=AC+AE+CE=15,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+15=23.
解题关键点：根据线段垂直平分线的性质，把AC+BC转化为△ACE的周长是解题的关键、
6. D 解析:∵有两条线段长度分别为5cm,10cm,设第三条边长为a cm,∴10-5易忽略三角形的三边关系而误选A.
7. C 解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵∠A=30°,
∵BE=BD=BC,∴∠BDC=∠C=75°.
∴∠DBE=75°-30°=45°.
解题关键点：利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CBD=30°是解题的关键.
3. C 解析:如图、∵△ADE是等边三角形.∴AD=DE=AE,∴△ADE的周长=3AD.当△ADE周长最小时,AD最小,此时AD⊥BC.
∵△ABC是等边三角形，
又∵∠2+∠3=60°,∴∠1=∠3.
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴CE=BD=4.
9.23°10.-1 11.130
12.90 解析:由题意,知∠BAC=30°,∠DBC=60°,AB=30×2=60(n mile),∠CDB=90°.∵∠CAB+∠ACB=∠CBD,∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°.∴∠ACB=∠CAB.∴BC=BA=60n mile.∵∠CDB=90°.∠CBD=60°...∠BCD=180°-(∠CDB+∠CBD)= =90(n mile).
※13.16或8 解析:如图,BD是等腰三角形ABC的中线,设AD=CD=x,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分、所以分为两种情况：
①当AB+AD=15时,2x+x=15,解得x=5,此时BC=21-x=21-5=16;
②当AB+AD=21时,2x+x=21.解得x=7,此时BC=15-x=15-7=8.经验证.这两种情况都是成立的，所以这个三角形的底边BC长为16或8.
求解时易漏掉一种情况，同时求出的结果一定要检验是不是符合三角形的三边关系.
※14.6 解析；如图，作点E关于AD的对称点F、连接CF,则CF的长就是EP+CP的最小值.
∵△ABC是等边三角形、AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC、∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对称点F为AB的中点,∴CF是△ABC的中线,∴CF=AD=6,即EP+CP的最小值为6.
解题关键点：本题利用等边三角形的性质和轴对称的性质解决最值问题.本题也可连接BE，由B，C关于AD对称，得BE的长即为所求的最小值.
15.解:设∠B=x°.∵AB=AC、∴∠C=∠B=x°.
∵DA=DC,∴∠DAC=∠C=x°.
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2x°.
∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°.
∴在△ABD中,有. 解得x=36,
∴∠B=36°.
核心素养本题借助线段相等求角的度数，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，利用方程思想解决问题，考查了推理能力和运算能力.
16.解:(1)如图所示、△A B C 即为所求、A (5、2),B (3,5),C (-2,-2).
(2)横坐标互为相反数，纵坐标相同
17.解:(1)第二条边的长为(3a-4)m,第三条边的长为41-a-(3a-4)=(45-4a)m.
(2)当a=3a-4时,解得a=2、三角形三边长分别为2，2、37、不符合三角形三边的关系、舍去；
当a=45-4a时，解得a=9，三角形三边长分别为9、9，23，不符合三角形三边的关系、舍去；
当3a-4=45-4a时,解得a=7,三角形三边长分别为7、17、17、符合三角形三边的关系。
综上所述，三角形三边的长分别为7m，17m，17m.必然(1)易因不能对所有的情况进行分类讨论而导致错误.(2)易因忘记对所求出的结果检验是否符合三角形的三边关系而导致错误，
※18.解:(1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,.
∴AM=CM、BN=CN.
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3cm.
(2)∵∠MFN=70°,
∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°.
∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF.
∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°.
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°.
∵AM=CM,BN=CN,
∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN.
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.
※19.解:(1)=
(2)AE=DB.理由如下:
如题图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形、
∴△AEF为等边三角形、
∴AE=EF、BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD、
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF,∴AE=DB.

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