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2025年广东中山市迪茵公学初三数学二模试卷（迪茵二模）
一、单选题
1.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.月球表面白昼平均温度为，夜晚平均温度为，则月球表面昼夜温差为（ ）
A． B． C． D．
4.要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．4
6.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表：
则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8.如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9.熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）
A． B． C． D．
10.图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则的值为（ ）
A．8085 B．8089 C．8092 D．8093
二、填空题
11.已知x-y=4，xy=5，则x2+y2=___________．
12. 若点与关于x轴对称，则点在第________象限．
13.不等式组的最小整数解是_________．
14.如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点，点B为直线上一点，连接AB，PB，若的面积是12，则k的值为________．
15.点E在边长为2正方形的边上（且点E不与点A，B重合），线段是线段绕着点E顺时针旋转得到，连接有下列结论：
①； ②； ③； ④的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是_____________
三、解答题
16.计算：．
17.先化简，，然后从，0，1，3中选一个你认为合适的数作为x值，代入求值．
18.如图，矩形中，．
(1)用尺规作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的长．
19.某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A．B．C．D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
(2)若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
(3)九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
20.某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内．
(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．
(2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．
21.如图，以△PMN的边MN为直径作⊙O，点P在⊙O上，点Q在线段MN的延长线上，PM＝PQ，∠Q＝30°．
(1)求证：直线PQ是⊙O的切线；
(2)若直径MN＝8，求图中阴影部分的面积．
22.如图1，在矩形中，，，点E，F分别在，上，将矩形沿直线折叠，使点B落在边上的’处，点A落在’处，连接B’．
(1)如图2，若点’与点D重合，连接．
①请你判断四边形的形状，并证明；
②求的长；
(2)如图3，P为’B’中点，连接．
①当B’=2时，求的长；
②直接写出的取值范围．
23.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
参考答案与试题解析
1.B
【解析】解：，
故选：B ．
2.D
【解析】A. ，故该选项错误，
B. ，故选项错误，
C. ，故选项错误，
D. ，故选项正确，
故选D．
3.C
【解析】解：由题意可知，月球表面昼夜温差为，
故选：C．
4.D
故选：．
5.C
【解析】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
解得：，
故选：C．
6.D
【解析】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：，
则将
代入得：，
解得：，
故函数解析式为：，
由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：，
则将代入得：，
故函数解析式为：．
故函数图象D正确．
故选：．
7.C
【解析】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，
∴点的坐标为或，
故选：C．
8.C
【解析】∵大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形边长为，小正方形的边长为，
∴，．
故选：C．
9.C
【解析】解：如图，设圆心为O，连接，
，
，
是等边三角形
，
该镜子的直径为8cm，
故选: Ｃ．
10.D
【解析】解：由图知，第一个图中1个三角形，即个；
第二个图中5个三角形，即个；
第三个图中9个三角形，即个；
…
∴第n个图形中有个三角形．
∴；
故选：D．
11.26
【解析】解：∵（x-y）2= x2+ y2-2x y =16
∴x2+y2=（x-y）2+2x y=16+2×5=26．
故答案为：26．
12.四
【解析】∵点与关于x轴对称，
∴，，
∴点M坐标为，在第四象限．
故答案为：四．
13.
【解析】
解不等式①，，
解不等式②，>-2，
∴不等式的解集为，
∴最小整数解是，
故答案为：．
14.16
【解析】解： 过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，则，
由题意，得轴直线，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
15.①③/③①
【解析】解：作交的延长线于点J，
∵线段是线段绕着点E顺时针旋转得到，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；故①正确；
设，则，
∴
，
∵，∴当时，有最大值为；故④不正确；
∵，，
∴，即，
∴，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定等于；故②不正确；
综上，正确的有①③，
故答案为：①③．
16.
【解析】解：原式，
，
．
17.，
【解析】：原式=
，
∵
∴当x=3时，原式=．
18.
【解析】
18.
(1)见解析
【解析】如图所示，为所作：
(2)4cm
【解析】如图所示，过作于，
由题可得，平分，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴中，．
19.
(1)解：（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【解析】略
(2)解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
【解析】略
(3)解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【解析】略
20.
【解析】
20.
(1)手臂端点离操作台的高度的长约为
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
则，
答：手臂端点离操作台的高度的长约为．
(2)不能，理由见解析
【解析】解：手臂端点不能碰到点，理由如下：
由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，
∴此时，
∵，，
∴，
即手臂端点不能碰到点．
21.
(1)见解析；
【解析】证明：连接OP，如图所示：
∵PM＝PQ，∠Q＝30°，
∴∠M＝∠Q，
又∵OM＝OP，
∴∠MPO＝∠M＝30°，
∴∠PON＝∠M+∠MPO＝30°+30°＝60°，
∴∠POQ+∠Q＝90°，
∴∠OPQ＝90°，
∴PQ⊥OP，
∵OP是⊙O的半径，
∴PQ与⊙O相切；
(2)8﹣
【解析】解：∵MN＝8，
∴OM＝ON＝OP＝4，
由（1）得：∠PON＝60°，
∵∠Q=30°，
∴OQ=2OP，
∴根据勾股定理可得PQ＝OP＝4，
∴图中阴影部分的面积＝△OPQ的面积﹣扇形PON的面积＝．
22.
【解析】
22.
(1)①四边形EBFB’为菱形，理由见解析；②；
【解析】①四边形EBFB’为菱形
理由如下：

由折叠可知，是B’的垂直平分线，
∴EB=EB’，，
由折叠可知EF平分∠BEB’，
∴∠FEB’=∠BEF
∵矩形ABCD，
∴，
∴∠FEB’=∠EFB
∴，
∴，
∴BE=B’E=BF=B’F
∴四边形EBFB’为菱形．
②∵，，，
∴，
设BE=B’E=X，则在中，
，
∴，解得．
∵菱形EBFB’，记EF与B’的交点为O，
∴，，，
∴，
∴．
(2)①；②．
【解析】
如图1，∵
∴PH取最小值时，BP最小，PH取最大值时，BP最大，
∵，
∴
23.
(1)解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
【解析】(2)存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
【解析】(3)如图，
在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．

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