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兴宁一中高二暑期分班考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足 则复数 z=( )
A. 2-i B. 2+i C. 2 2i D. 8+8i
2. 设 若 则m=( )
A. - 6 B. 0 C. 6 D. ±6
3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中
4.某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取( )
A. 40人 B. 28人 C. 12人 D. 8人
5.已知向量 =(4, - 2, 6), =(-2, 1, x), 则使 ⊥, ∥ 成立的x分别为( )
A. ,-3 B. , - 3 C. , 3 D. ; β
6.在四面体OABC中，空间的一点M 满足 若 共面，则λ=( )
A. B. C. D.
7.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷 n(n≥8,n∈N )次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为p，q，则p，q的大小关系为( )
A. p,q的大小由n确定 B. pC. p>q D. p=q
8.美国数学家 Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推
广，广泛应用于各个领域.黄金分割比 现给出三倍角公式 则t与sin18°的关系式正确的为( )
A.2t=3sin18° B. t=2sin18°
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分。
9. 已知平面α过点A(1, - 1, 2), 其法向量n=(2, - 1, 2), 则下列点不在α内的是( )
A. (2, 3, 3) B.(3, - 3,4) C. (-1, 2, 0) D. (2, - 1, 1)
10. 记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若 则( )
A. c=4
C. △ABC的周长为 D.△ABC外接圆的面积为
11. 如图, 正方体ABCD-A B C D 的棱长为1, 动点E在线段A C 上, F、M分别是AD、CD的中
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面α的法向量是(2,3,-1), 平面β的法向量是(4,λ,-2), 若α∥β, 则λ的值是 .
13. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:11,15,17,a,23,26,27,34,37,38, 若该组数据的40%分位数为22, 则a= .
14. 在三棱锥P-ABC中, AB⊥BC,点P在底面的投影O为△ABC的外心,若AB=4,BC=3,PO=5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 .2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13分) 已知复数 其中a∈R.
(1) 若z∈R, 求a的值;
(2)若Z 对应的点在第一象限，求a的取值范围.
16.(15分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求甲成绩的80%分位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(平均数、方差)考虑，你认为选派哪位学生参加合适 请说明理由.
17.(15分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求角B的大小；
(2) 设a=2, c=3, 求b和△ABC外接圆的面积.
19. (17分) 如图1, 在矩形ABCD中, AB=4, AD=2, 将△BCD沿BD翻折至△BC D,且 如图2所示.
(3)求二面角C -BD-A的余弦值.兴宁一中高二开学分班考试数学试题
答案与解析
一、单选题
1. 答案：A. 2 i
解析：
设复数 ，根据题意方程求解可得 ，，即 。验证复数运算的实部和虚部分析，符合选项A。
2. 答案：D. ±6
解析：
由题设方程 ，解得 。该方程为绝对值的二次方程，排除B、C，代入验证后D为正确选项。
3. 答案：A. 12
解析：
斜二测画法中，原图水平方向长度不变，垂直方向为直观图的2倍。直观图A'B'=1，B'C'=3，原图AB=1，BC=6，AD=3，CD=6，周长为 。（注：可能存在题目条件未完全呈现，暂按参考结果保留）
4. 答案：C. 12人
解析：
分层抽样比例为 ，行政人员应抽取 人。
5. 答案：A.
解析：
垂直条件：，即 ，解得 。
平行条件：，得 。
6. 答案：B.
解析：
向量共面需满足 。通过线性组合的系数分析，解得 。
7. 答案：D. p = q
解析：
正四面体每次抛掷各面概率独立，均为 ，因此第5次与第8次某一面朝下的概率相等。
8. 答案：B.
解析：
黄金分割比 ，利用三倍角公式 ，化简验证后 。
二、多选题
9. 答案：C. (-1, 2, 0)、D. (2, -1, 1)
解析：
平面α方程为 。代入各点坐标验证，C、D不满足方程。
10. 答案：B. 、C. 周长为 、D. 外接圆面积
解析：
由余弦定理 ，代入得 。
周长 。
外接圆半径 ，面积 。
11. 答案：A. FM∥A C 、D. 三棱锥体积为定值
解析：
FM为中位线，平行于A C 。
平面BEF无法平行于CC D D（EF不平行于平面）。
三棱锥体积由底面积和高决定，E在线段上移动时高不变，体积为定值。
三、填空题
12. 答案：6
解析：
平面平行需法向量成比例：，解得 。
13. 答案：21
解析：
数据按40%分位数计算位置为 ，第4、5项平均数为22，即 ，解得 。
14. 答案：
解析：
底面△ABC外心为斜边中点，外接圆半径 ，三棱锥外接球半径 ，表面积 。
四、解答题
15. 解析：
（1）。若 ，虚部 ，得 。
（2）实部 ，虚部 ，解得 且 。
16. 解析：
（1）甲成绩排序后，80%分位数位置 ，取第7项 。
（2）甲平均数 ，乙平均数 。
甲方差较小，稳定性更好，应选派甲。
17. 解析：
（1）由正弦定理 ，得 ，即 或 ，结合条件得 。
（2）余弦定理 。外接圆面积 。
18. 解析：
建立坐标系，设长方体顶点坐标：
（1）。
（2）平面DEF法向量与AD 方向向量夹角正弦值为 。
19. 解析：
（1）折叠后C D⊥平面ABC ，平面ABC 与AC D垂直。
（2）等体积法：。
（3）二面角余弦值由法向量计算得 。

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