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2025-2026学年度初三年级调研
数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．如图用的是“日晷饮水计时，暑头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行
第2题图 第4题图 第5题图
3．下列说法正确的是（ ）
A. 半圆是轴对称图形 B. 过圆心的直线是圆的直径
C. 直径是弦，弦是直径 D. 长度相等的两条弧是等弧
4．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ）
A. 1 B. C. - 1 D. 1或-1
5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC=70°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
7．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）
A. B.
C. D.
8．如图，在矩形ABCD中，，，F为矩形的边BC上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（）
A. B. C. D.
第8题图
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．已知关于x的一元二次方程有一个根是，则m=______.
10．如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为______.
第10题图 第12题图
10若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______.
11．有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是______.
12．如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弧AB的长为8cm，弧AB液体的深度CD=2cm，则球的半径为______cm.
14．已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______.
15．如图，在中，，，，以AB的中点O为圆心的半圆与AC相切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为______.
16．已知等腰三角形三边分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值是______.
17．如图，AB为⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且，交⊙O于点E，交BC于点F，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有______.
18．如图，AB为半径为6的⊙O的弦，沿弦AB折叠经过圆心O，点D为上一动点，连接BD交⊙O于点C，点P为CD的中点，则OP最小值为______.
第15 题图 第17题图 第18题图
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）； （2）.
20．（8分）先化简，再求值，其中x的值是方程的根.
21．（8分）如图，，交⊙O于点C、D，OE是半径，且于点F.
（1）求证：；
（2）若，，求⊙O的半径.
22．（8分）由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.
（1）图①中，画出⊙O的圆心O；
（2）图②中，在BC边上找一点D，使得AD平分∠BAC；
（3）图③中，在⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得.
23．（10分）关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围.
24．（10分）江苏宿迁：文明交通从“头”做起，辛“盔”有你.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求EC的长.
26．（10分）阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，①
解得，.
当时，，，.
当时，，，.
原方程的解为，，，.
以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想.
请仿照材料解方程：
（1）；
（2）；
（3）已知实数a满足，则______.
27．（12分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”.
（1）下列方程是倍根方程的是______；
①；
②；
③.
（2）若关于x的方程（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值；
（3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“倍根方程”，令，试求t的最小值.
28．（12分）如图，在四边形ABCD中，，，，，对角线AC平分∠BAD，点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为4cm/s.设点P，Q同时出发，移动时间为，连接PQ，以PQ为直径作⊙O.
（1）求DC的长；
（2）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（3）当t为______时，⊙O与∠ACD的一条边相切.

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