资源简介

2.2平方根与立方根
【知识点1】算术平方根 2
【知识点2】非负数的性质：算术平方根 2
【知识点3】立方根 4
【知识点4】计算器—数的开方 5
【知识点5】平方根 7
【题型1】利用估算法求整数部分和小数部分 8
【题型2】利用立方根的定义求立方根 10
【题型3】利用立方根的定义求值 12
【题型4】对平方根的认识 14
【题型5】已知算术平方根求被开方数 15
【题型6】利用平方根解方程 16
【题型7】探究平方根的规律 17
【题型8】立方根的运算 20
【题型9】利用计算器开立方 21
【题型10】求一个数的平方根 23
【题型11】立方根与无理数 24
【题型12】利用平方根求值 25
【题型13】利用算术平方根的非负性解决问题 26
【题型14】利用平方根的意义求字母的值 27
【题型15】立方根的性质 28
【题型16】利用计算器求算术平方根 29
【题型17】估算无理数 33
【题型18】算术平方根的应用 34
【题型19】利用计算器解决估算问题 35
【题型20】利用算术平方根进行估算 37
【题型21】求一个非负数的算术平方根 40
【题型22】平方根与算术平方根的区别 41
【题型23】立方根的应用 42
【题型24】平方根的综合应用 44
【题型25】立方根与平方根的内容综合 46
【题型26】通过估算求无理数的值 47
【题型27】算术平方根的估算 48
【题型28】规律探究题 50
【题型29】根据立方根定义解方程 51
【知识点1】算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1.（2025春 海伦市期末）25的平方根是（　　）
A．5 B．-5 C．5或-5 D．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：25的平方根是=±5，
故选：C．
2.（2025 南京三模）化简的结果是（　　）
A． B．3 C．± D．±3
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：=3．
故选：B．
3.（2025春 秀屿区校级月考）36的算术平方根是（　　）
A．6 B．-6 C．±6 D．9
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：36的算术平方根是6，
故选：A．
【知识点2】非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1.（2024春 昆明期中）若|x-1|+=0，则x2023+y2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】根据非负性求出x,y的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵，
∴x-1=0，y+1=0，
∴x=1，y=-1，
∴x2023+y2024=12023+（-1）2024=1+1=2；
故选：D．
2.（2024春 余干县校级期中）若，则x+2y=（　　）
A．0 B．2 C．3 D．-1
【答案】A
【分析】根据非负数的性质得到，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴x+2y=2+2×（-1）=0，
故选：A．
3.（2025春 清江浦区期中）若，则ab的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据完全平方公式以及偶次方和算术平方根的非负数性质解答即可．
【解答】解：，
，
∵（a-1）2≥0，，
∴，
解得，
∴ab的值是-1．
故选：A．
【知识点3】立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2024秋 叶县期末）下列说法正确的是（　　）
A．-27的立方根是3 B．=±4
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
【答案】D
【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、-27的立方根是-3，故本选项错误；
B、=4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确．
故选：D．
2.（2025春 兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．立方根等于本身的数只有1
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
【答案】B
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可．
【解答】解：A、立方根等于本身的数有±1和0，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、负数没有平方根，但有立方根，正确，故此选项符合题意；
C、25的平方根为±5，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、27的立方根为3，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3.（2025春 前郭县期末）64的立方根是（　　）
A．4 B．2 C．8 D．-4
【答案】A
【分析】如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根．依据立方根的定义进行判断即可．
【解答】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，即=4，
故选：A．
【知识点4】计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
1.（2020秋 龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据计算器的运算方法和开方注意判定各项即可．
【解答】A选项先按，再输入2，再输入，最后按=，可以求出结果．
B选项先按，再输入2，再按÷，最后按7和=，计算的是，不能求出结果．
C选项先按，再按（，再输入2，再输入，最后按）和=，可以求出结果．
D选项先按√，再按（，再输入2，再按÷，最后按7和）和=，可以求出结果．
故选：B．
2.（2014 镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现．
【解答】解：A.10=14.1421356237，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故A错误；
B.10（-1）=14.1421356237-10=4.1421356237一共12位，
这样7后面的数字一定会出现，故B正确；
C.100=141.421356237，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故C错误；
D.-1=1.41421356237-1=0.41421356237一共13位，
这样7后面的数字不可能出现，故D错误；
故选：B．
【知识点5】平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 闽清县期末）若实数x没有平方根，则x可以是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】负数没有平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：若实数x没有平方根，
则x＜0，
那么-1符合题意，
故选：A．
2.（2025春 永清县期末）4的平方根是（　　）
A．2 B．-2 C．±2 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据平方根的定义推出4的平方根为±2，即可得到答案．
【解答】解：∵4=（±2）2，
∴4的平方根为±2，
故选：C．
【题型1】利用估算法求整数部分和小数部分
【典型例题】估算的值，它的整数部分是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵22＝4，32＝9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴6﹣3＜6﹣＜6﹣2
即3＜6﹣＜4，
∴6﹣的整数部分为3，
故选：B．
【举一反三1】介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b的值是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】∵22＝4，32＝9，
∴4＜5＜9，
∴2＜＜3，∴2+1＜+1＜3+1，
∴2＜+1＜3，
∴1＜＜，∴1＜＜2，
∵介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，
∴a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2=3，
故选：B．
【举一反三2】设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（　　）
A.1 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】解：∵12＝1，22＝4，∴1＜3＜4，
∴1＜＜2，
则﹣2＜﹣＜﹣1，
∴2＜4﹣＜3，
∴4﹣的整数部分a＝2，小数部分b＝4﹣﹣2＝2﹣，
当a＝2，b＝2﹣时
（a+）b＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．
故选：A．
【举一反三3】阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：（1）的整数部分是____．（2）的小数部分是____．
【答案】3，
【解析】（1）∵32=9，42=16，∴9<11<16，∴，∴，∴的整数部分为3．故答案为：3
（2）∵，∴-4＜＜-3，∴5-4＜5-＜5-3，∴1<<2，∴的整数部分是1，
∴的小数部分是-1=．故答案为：
【举一反三4】若，分别表示的整数部分和小数部分，则________．
【答案】6-2
【解析】 ∵2＜＜3，∴-3＜-＜-2，∴5-3＜5-＜5-2，
∴2＜5-＜3，∴m=2，n=5--2=3-，∴mn=2（3-）=6-2．故答案为：6-2．
【举一反三5】已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．
（1）求a，b的值；
（2）比较a+b的算术平方根与3的大小．
【答案】（1）∵32＝9，42＝16，∴9＜11＜16，
∴3＜＜4．∴3+1＜+1＜4+1．
∴4＜+1＜4+1．
又+1在两个连续的自然数a和a+1之间，∴a＝4，
∵1是b的一个平方根，
∴b＝1；
∴a＝4，b＝1；
（2）由（1）知，当a＝4，b＝1时，
∴a+b＝4+1＝5，
∴a+b的算术平方根，即5的算术平方根是．
∵5＜9，
∴＜3．
【举一反三6】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2
【答案】∵32＝9，42＝16，∴9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
∴a＝3，b= ﹣3，
则a2+（b+3）2＝32+（﹣3+3）2＝9+10＝19．
故答案为：19．
【题型2】利用立方根的定义求立方根
【典型例题】立方根等于﹣2的数是（　　）
A.±8 B.8 C.﹣8 D.不存在
【答案】C
【解析】∵（﹣2 ）3=﹣8，
∴﹣8的立方根等于﹣2，
即立方根等于﹣2的数是﹣8．
故选：C．
【举一反三1】下列说法错误的是（ ）
A.-8的立方根是-2 B. C.的相反数是 D.3的平方根是
【答案】B
【解析】A、-8的立方根为-2，故正确；
B、|1-|=-1，故错误；
C．-的相反数是，故正确；
D、3的平方根是±，故正确；
故说法错误的是B．
【举一反三2】　 　的立方根是的算术平方根是 　 　．
【答案】﹣，2．
【解析】因为（-）3=﹣，所以﹣的立方根是﹣，
＝4，4的算术平方根是2，
所以的算术平方根是2．
故答案为：﹣，2．
【举一反三3】求下列各数的立方根：
(1)-164；(2)－0.008；(3)512；(4)36.
【答案】解：(1)因为(-14)3＝-164，所以-164的立方根为-14；
(2)因为(－0.2)3＝－0.008，所以－0.008的立方根为－0.2；
(3)因为83＝572，所以572的立方根为8；
(4)因为(32)3＝36，所以36的立方根为9.
【题型3】利用立方根的定义求值
【典型例题】下列命题中正确的是（　　　）
（1）0.027的立方根是0.3；（2）不可能是负数；（3）如果a是b的立方根，那么ab0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4)
【答案】A
【解析】（1）0.027的立方根为0.3，故正确；
可能是负数，故不正确；
如果a是b的立方根，那么ab≥0（a、b同号），故正确；
一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故 错误．
故正确的是（1）（3），选A.
【举一反三1】下列说法正确的是（　　）
A.±3都是27的立方根 B.的算术平方根是 C. D.81的算术平方根是﹣9
【答案】C
【解析】A、3是27的立方根，故错误；
B、的算术平方根是，故错误；
C、﹣＝-（-2）=2，故正确．
D、81的算术平方根是9，故错误；
故选：C．
【举一反三2】 若（﹣m）2＝9，＝﹣2，则m+n的值是（　　）
A.﹣11 B.﹣5 C.﹣5或﹣11 D.±5或±11
【答案】C
【解析】∵（﹣m）2＝9，＝﹣2，
∴m＝3或﹣3，n＝﹣8，
当m＝3时，则m+n＝3﹣8＝﹣5
当m＝﹣3时，则m+n＝﹣3﹣8＝﹣11，
所以m+n=﹣5或﹣11
故选：C．
【举一反三3】如果＝4，那么a的值是 　 　．
【答案】60．
【解析】：∵＝4，
∴a+4＝43=64．
∴a＝60．
故答案为：60．
【举一反三4】根据图中呈现的运算关系，可知a＝　 　，b＝　 　．
【答案】﹣2020，﹣2020．
【解析】依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．
【举一反三5】计算下列各式的值．
（1）±；
（2）；
（3）；
【答案】（1）∵（±）2＝，
∴＝；
（2）∵0.33＝0.027，
∴＝0.3；
（3）∵（﹣1）3＝﹣1，
∴＝﹣1．
【举一反三6】已知x﹣2的平方根是±4，2x+y﹣1的算术平方根是5，则x﹣y﹣1的立方根是 　 　．
【答案】3．
【解析】∵x﹣2的平方根是±4，
∴x﹣2＝16，解得：x＝18
∵2x+y﹣1的算术平方根是5，
∴2x+y﹣1＝25，
将x＝18代入得，y＝﹣10，
∴x﹣y﹣1＝18﹣（﹣10）﹣1＝18+10﹣1＝27，
∴x﹣y﹣1的立方根是3，
故答案为：3．
【题型4】对平方根的认识
【典型例题】下面关于平方根的说法中正确的是( )
A.任何数都有两个平方根
B.若a＞0，x2＝a，则x是a的一个平方根
C.2的平方根是4
D.若a＞0，x2＝a，则a是x的一个平方根
【答案】B
【解析】0的平方根是0，负数没有平方根，故A错误；
若a＞0，x2＝a，则x是a的一个平方根，故B正确，D错误；
4的平方根2和－2，故C错误．
【举一反三1】下列说法中，正确的是( )
A.64的平方根是8 B.2的平方根是2 C.0没有平方根 D.16的平方根是4和－4
【答案】D
【解析】A.64的平方根是±8，故A错误；
B．2的平方根是±，故B错误；
C．0的平方根是0，故C错误；
D．16的平方根是4和－4，故D正确．
【举一反三2】﹣2的最小值是（ ）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
【答案】A
【解析】是算术平方根，，最小值为0，所以原式最小值为-2.
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A.－a2一定没有平方根 B.4是16的一个平方根 C.16的平方根是4 D.－9的平方根是±3
【答案】B
【解析】A.－a2不一定是负数，故本选项错误；B正确；C．16的平方根是±4，故本选项错误；D．－9没有平方根，故本选项错误．
【举一反三4】下列说法中，正确的是( )
A.64的平方根是8 B.2的平方根是2 C.0没有平方根 D.16的平方根是4和－4
【答案】D
【解析】A.64的平方根是±8，故A错误；
B．2的平方根是±，故B错误；
C．0的平方根是0，故C错误；
D．16的平方根是4和－4，故D正确．
【题型5】已知算术平方根求被开方数
【典型例题】一个正 数的算术平方根为m，则比这个正 数大1的数的算术平方根是（　　）
A.m2+1 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为一个正 数的算术平方根为m，所以这个正数为m2，
则比这个数大1的数为，的算术平方根是，
故选：C．
【举一反三1】算术平方根是的数是（　　）
A.﹣2 B.﹣ C.2 D.
【答案】C
【解析】算术平方根是的数是（）2＝2．
故选：C．
【举一反三2】如果=2,那么(x+3) =______.
【答案】16
【解析】因为算术平方根是2的数是22＝4．所以，所以(x+3) =16
故答案为16．
【举一反三3】已知x=l-3a,如果x的算术平方根为4,求a的值;
【答案】因为x的算术平方根为4，所以x=16，
因为x=l-3a，所以16=1-3a，所以a=-5
【举一反三4】已知x=l-2a,已知x的算术平方根为3,求a的值;
【答案】因为x的算术平方根为3，所以x=9，
因为x=l-2a，所以9=1-2a，所以a=-4
【题型6】利用平方根解方程
【典型例题】已知(x-1)2=4，则x的值是( )
A.3 B.-1 C.3或-1 D.不确定.
【答案】C
【解析】∵，即x-1为4的平方根，∴，∴x=-1或3，故答案为C
【举一反三1】已知x＞0，且(x－1)2－324＝0，则x＋1的值为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【答案】D
【解析】(x－1)2－324＝0，(x－1)2＝324，x－1＝±18，所以x1＝19，x2＝－17，因为x＞0，所以x＝19，所以x＋1＝19＋1＝20.
【举一反三2】若(x－1)2－1＝0，则x的值为( )
A.±1 B.±2 C.－2或0 D.0或2
【答案】D
【解析】(x－1)2－1＝0，(x－1)2＝1，x－1＝±1，则x的值为0或2.
【举一反三3】若x2＝13，则x＝________.
【答案】±13
【解析】因为x2＝13，所以x＝±13.
【举一反三4】若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝________.
【答案】1或5
【解析】因为x2＝4，y2＝9，所以x＝±2，y＝±3，即x＋y＝5，－1，1，－5，则|x＋y|＝1或5.
【举一反三5】解方程：
(1)；(2)（x﹣1）2﹣4＝0；(3)2（x﹣1）2﹣18＝0；(4)．
【答案】解：(1)；
；
；
．
【题型7】探究平方根的规律
【典型例题】已知，，则（　　）
A.0.00607 B.0.0607 C.0.001921 D.0.01921
【答案】D
【解析】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
∵，
∴0.01921，
故选：D．
【举一反三1】已知，则（　　）
A.4.496 B.1.422 C.449.6 D.142.2
【答案】A
【解析】∵≈44.95，
∴≈4.495．
故选：A．
【举一反三2】已知，，则（ ）
A.0.15129 B.0.015129 C.0.0015129 D.1.5129
【答案】B
【解析】∵，，被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
∴，，
∴，，，
∴．故选：B．
【举一反三3】已知，，则（　　）
A.0.00607 B.0.0607 C.0.001921 D.0.01921
【答案】D
【解析】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
∵，
∴0.01921，
故选：D．
【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【答案】(1)0.4；40
（2）①143.5；②0.03489
【解析】（1）解：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
当n=0.16时，x===0.4，
当n=1006时，x===40，故答案为：0.4，40；
(2)解：①已知≈1.435，则≈143.5；故答案为：143.5；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489．故答案为：0.03489．
【举一反三5】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【答案】(1)0.4；40
（2）①143.5；②0.03489
【解析】（1）解：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
当n=0.16时，x===0.4，
当n=1006时，x===40，故答案为：0.4，40；
(2)解：①已知≈1.435，则≈143.5；故答案为：143.5；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489．故答案为：0.03489．
【举一反三6】已知≈2.284，则≈　 　；若≈0.02284，则x≈　 ．
【答案】0.2284；0.0005217．
【解析】∵≈2.284，被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
∴≈0.2284；
若≈0.02284，则x≈0.0005217．
故答案为：0.2284；0.0005217．
【题型8】立方根的运算
【典型例题】下列等式成立的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、＝﹣3，故正确；
B、＝9，故错误；
C、＝±5，故错误；
D、＝2，故错误；
故选：A
【举一反三1】下列计算正确的是（　　）
A.＝﹣3 B. C.＝±6 D.﹣
【答案】B
【解析】A、＝3，故A错误；
B、＝﹣，故B正确；
C、＝6，故C错误；
D、﹣≠，被开方数为负数无意义，故D错误；
故选：B．
【举一反三2】计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
【举一反三3】下列计算正确的是（　　）
A.＝﹣3 B. C.＝±6 D.﹣
【答案】B
【解析】A、＝3，故A错误；
B、＝﹣，故B正确；
C、＝6，故C错误；
D、﹣≠，被开方数为负数无意义，故D错误；
故选：B．
【题型9】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　）
A.6 B.8 C.16 D.48
【答案】B
【解析】计算器按键转为算式23＝8，
故选：B．
【举一反三1】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：+（﹣3）2÷2＝．
故选：C．
【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　）
A.6 B.8 C.16 D.48
【答案】B
【解析】计算器按键转为算式23＝8，
故选：B．
【举一反三3】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：+（﹣3）2÷2＝．
故选：C．
【举一反三4】用计算器计算≈　　（结果精确到0.1）
【答案】1.4．
【解析】用计算器逐次按：11，﹣，2nd，7，x^3，＝，显示1.403，
∴结果为1.4．
故本题答案为1.4．
【举一反三5】若利用计算器进行如下操作：
屏幕显示的结果为12，若现在进行如下操作：
，则屏幕显示的结果为　 　．
【答案】1.2
【解析】：∵．
∴．
故屏幕显示的结果为：1.2．
故答案为1.2．
【举一反三6】若利用计算器进行如下操作：
屏幕显示的结果为12，若现在进行如下操作：
，则屏幕显示的结果为　 　．
【答案】1.2
【解析】：∵．
∴．
故屏幕显示的结果为：1.2．
故答案为1.2．
【举一反三7】用计算器计算≈　　（结果精确到0.1）
【答案】1.4．
【解析】用计算器逐次按：11，﹣，2nd，7，x^3，＝，显示1.403，
∴结果为1.4．
故本题答案为1.4．
【题型10】求一个数的平方根
【典型例题】的平方根是( )
A. 9 B. ±9 C. ±3 D. 3
【答案】C
【解析】，即9的平方根是
【举一反三1】 9的平方根是( )
A.3 B.-3 C.土3 D.
【答案】C
【解析】9的平方根是，故选C
【举一反三2】如果2a-1和5-a是一个数m的两个平方根，则a= ______，m= ______．
【答案】-4 81
【解析】正数的两个平方根互为相反数，即．
【举一反三3】若（a－1） ＋|b－9|＝0，求的平方根.
【答案】因为（a－1） ＋|b－9|＝0，，所以，所以，9的平方根是，所以的平方根是，
【举一反三4】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b的平方根．
【答案】解：9的平方根是，
16的平方根是，所以．
【题型11】立方根与无理数
【典型例题】在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【答案】C
【解析】一个数的立方等于本身的数有1，-1，0，共3个.
故选C.
【举一反三1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2 D.2
【答案】A
【解析】由题意可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
∵﹣8是有理数，∴再取立方根为﹣2，
∵﹣2是有理数，∴再取立方根为，
∵是无理数，∴输出，故选：A．
【举一反三2】下列选项中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.0
【答案】B
【举一反三3】在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【答案】C
【解析】一个数的立方等于本身的数有1，-1，0，共3个.
故选C.
【举一反三4】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2 D.2
【答案】A
【解析】由题意可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
∵﹣8是有理数，∴再取立方根为﹣2，
∵﹣2是有理数，∴再取立方根为，
∵是无理数，∴输出，故选：A．
【题型12】利用平方根求值
【典型例题】若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为(　　)
A.－2 B.±5 C.5 D.－5
【答案】B
【解析】因为a2＝4，b2＝9，所以a＝±2，b＝±3，因为ab＜0，所以a＝2，b＝－3，或a＝－2，b＝3，则a－b的值为：2－(－3)＝5或－2－3＝－5.
【举一反三1】已知(a－2)2＋|b－4|＝0，则ba的平方根是( )
A.. B.－2 C.±2 D.2
【答案】A
【解析】因为(a－2)2＋|b－4|＝0，而(a－2)2≥0，|b－4|≥0所以(a－2)2＝0，|b－4|＝0，所以a＝2且b＝4.所以ba＝4×2＝8，所以8的平方根是.
【举一反三2】若a是4的平方根，b＝－42，那么a＋b的值为________．
【答案】－14或－18
【解析】由题意可知：a＝±2，b＝－16，
当a＝2时，所以a＋b＝2－16＝－14，
当a＝－2时，所以a＋b＝－2－16＝－18.
【举一反三3】已知x2＝14，|y|＝7.
(1)当y＞0时，求2x2＋y的值；
(2)当y＜0时，求2x2＋y的值．
【答案】解：(1)因为|y|＝7，y＞0，所以y＝7，当x2＝14，y＝7时，2x2＋y＝2×14＋7＝35；
(2)因为|y|＝7，y＜0，所以y＝－7，所以当x2＝14，y＝－7时，2x2＋y＝2×14－7＝21.
【举一反三4】已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，求m＋3n的平方根．
【答案】解：因为2m＋2的平方根是±4，所以2m＋2＝16，解得：m＝7；
因为3m＋n＋1的平方根是±5，所以3m＋n＋1＝25，即21＋n＋1＝25，解得：n＝3，
所以m＋3n＝7＋3×3＝16，所以m＋3n的平方根为±4.
【题型13】利用算术平方根的非负性解决问题
【典型例题】，则a+b＝（　　）
A.a+b＝﹣1 B.a+b＝1 C.a+b＝2 D.a+b＝3
【答案】B
【解析】：∵，根据两个非负数之和为零，则每一项均为零得，
∴，
∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，
由2a﹣4＝0，解得a＝2
将a＝2，代入a﹣b﹣3＝0得b＝﹣1，
∴a+b＝1．
故选：B．
【举一反三1】若|a﹣1|与互为相反数，则a+b＝（　　）
A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8
【答案】B
【解析】：∵|a﹣1|与互为相反数，
∴|a﹣1|+＝0，
∵|a﹣1|≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，7+b＝0，
解得a＝1，b＝﹣7，
∴a+b＝1﹣7＝﹣6，
故选：B．
【举一反三2】则xy=
【答案】2
【解析】 ∵（y+2） ≥0；
两个非负数的和为0，所以这两个非负数都为0
即 y+2=0 且 x+y+1=0
解得y=-2;x=1
∴xy=-2
【举一反三3】代数式－5－的最大值为________，此时a与b的关系是__________．
【答案】－5 相反数
【解析】－5－的最大值为－5，此时a与b的关系是相反数．
【举一反三4】已知与互为相反数，求x+4y的算术平方根．
【答案】解：由题意可得，
即，
所以x+4y的算术平方根为3．
【题型14】利用平方根的意义求字母的值
【典型例题】a－1与3－2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是( )
A.4 B.-4 C.2 D.－2
【答案】C
【解析】因为a－1与3－2a是某正数的两个平方根，所以a－1＋3－2a＝0，解得a＝2.
【举一反三1】若一个正数的平方根是2a－1和－a＋2，则这个正数是( )
A.1 B.3 C.4 D.9
【答案】D
【解析】因为一个正数的平方根是2a－1和－a＋2，所以2a－1－a＋2＝0.解得：a＝－1.所以2a－1＝－3.所以这个正数是9.
【举一反三2】一个正数a的平方根分别是m和﹣3m+1，则这个正数a为 　 　．
【答案】∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴m+（﹣3m+1）＝0，解得：m＝，
∴a＝（）2＝，
故答案为：．
【举一反三3】已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1）因为一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
所以这两个平方根互为相反数
所以a+6+2a﹣9＝0，
解得：a＝1，
∴m＝（a+6）2＝49．
（2）原方程为：x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
解得：x＝±=±4．
【题型15】立方根的性质
【典型例题】若a3＝a，则a的值是（　　）
A.1 B.0或1 C.1或﹣1 D.0或1或﹣1
【答案】D
【解析】立方等于它本身的数是0，±1，
即a3＝a，则a的值是0，±1，
故选：D．
【举一反三1】下列说法中不正确的是( )
A.正数的平方根有两个，立方根也有两个 B.64的立方根是4 C.3是27的立方根 D.任何一个数都有立方根
【答案】A
【解析】A、正数的平方根有两个,立方根有一个，故错误；
B、64的立方根是4,故正确；
C、3是27的立方根，故正确；
任何一个数都有立方根，故正确
故说法中不正确的是A.
【举一反三2】下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A
【解析】因为负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，所以①错误；因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个，所以②错误；因为一个负数有一个负的立方根，所以③错误；即正确的个数是0个．
【举一反三3】下列结论正确的是（　　）
A.16的立方根是±4 B.是的立方根 C.立方根等于本身的数只有0和1 D.
【答案】D
【解析】A. 16的立方根是，故错误；
B ﹣是﹣的立方根，故错误；
C 立方根等于本身的数有0和±1，故错误；
D ﹣，故正确．
故选：D．
【举一反三4】一个数的平方根与立方根都是它本身，这个数是( )
A.1 B.－1 C.0 D.±1，0
【答案】C
【解析】一个数的平方根与立方根都等于它本身，这个数是0.
【题型16】利用计算器求算术平方根
【典型例题】如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．
2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．
3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．
若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（　　）
A. 0.01 B. 0.1 C. 10 D. 100
【答案】B
【解析】根据题意得：＝10，
＝0.1，
0.12＝0.01，
＝0.1，
＝10，
102＝100，
100÷6＝16…4，
则第100次为0.1．
故选：B．
【举一反三1】用计算器求结果为（保留四个有效数字）（　　）
A.12.17 B.±1.868 C.1.868 D.﹣1.868
【答案】C
【解析】：此题首先熟悉开平方的按键顺序，然后即可利用计算器求平方根，并保留四个有效数字．利用计算器开方求＝1.868．
故选：C．
【举一反三2】如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．
2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．
3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．
若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（　　）
A. 0.01 B. 0.1 C. 10 D. 100
【答案】B
【解析】根据题意得：＝10，
＝0.1，
0.12＝0.01，
＝0.1，
＝10，
102＝100，
100÷6＝16…4，
则第100次为0.1．
故选：B．
【举一反三3】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【答案】B
【解析】∵2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
【举一反三4】利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【答案】22.36．
【解析】由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵≈2.236，
∴≈22.36，
故答案为：22.36．
【举一反三5】估算：≈　　．（精确到0.1）
【答案】5.1．
【解析】先熟悉计算器的求算术平方根的键，再利用计算器求出结果，根据有效数字的概念取近似数即可．
≈5.1．
故答案为：5.1．
【举一反三6】利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【答案】22.36．
【解析】由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵≈2.236，
∴≈22.36，
故答案为：22.36．
【举一反三7】甲同学利用计算器探索．一个数x的平方，并将数据记录如表：
请根据表求出275.56的平方根是　　．
【答案】±16.6．
【解析】观察表格数据可知：
16.6
所以275.56的平方根是±16.6．
故答案为±16.6．
【题型17】估算无理数
【典型例题】已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】：∵42=16，52=25，且16＜18＜25，∴4＜＜5．
∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a=4，b=5，∴．故选：B．
【举一反三1】在给定的﹣2，8，0，四个实数中，最小的是（　　）
A.﹣2 B.8 C.0 D.
【答案】A
【解析】因为﹣2＜0＜＜8．
∴ 最小的是﹣2．
故选：A．
【举一反三2】下列整数中，与无理数最接近的是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵32＝9，3.52＝12.25，
∴9<10<12.25
∴3＜＜3.5，
∴最接近的整数为3，
故选：C．
【举一反三3】下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A.﹣π B.﹣ C. D.
【答案】A
【解析】∵|﹣3|＝3，|﹣π|＝π，|﹣|＝，|﹣|＝，|﹣|＝，
∴根据数轴右边的数比左边的数大，可得π＞3＞＞＞，
∴根据负数比较大小，绝对值大的反而小可得﹣π＜﹣3＜﹣＜﹣＜﹣，
所以，﹣π，﹣，﹣，﹣这四个数中，比﹣3小的数是：﹣π，
故选：A．
【题型18】算术平方根的应用
【典型例题】面积为9的正方形的边长是（　　）
A.9的算术平方根 B.9的平方根 C.9的立方根 D.9开平方的结果
【答案】A
【解析】设正方形边长为x，
根据面积公式得：x2＝9，
解得x＝±，﹣不合题意，舍去，所以x＝，即9的算术平方根
故选：A．
【举一反三1】如图是一个无理数筛选器的工作流程图．当输入的x为16时，y值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】输入16取算术平方根答案是4，有理数继续运算，4的算术平方根是2，继续运算，答案为.
【举一反三2】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】∵，
∴大正方形面积为9+9等于18，∴大正方形的边长为，
∵，∴选A．
【举一反三3】如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．
【答案】
【解析】设这个正方形的边长为x（x＞0）．由题意得：x2＝3．∴x＝．故答案为：．
【举一反三4】△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍，求AB的长．
【答案】解：设AB＝x，则AB边上的高是4x，根据题意得：×x×4x＝12，解得：x＝，即AB的长为
【题型19】利用计算器解决估算问题
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【答案】B
【解析】∵≈2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
【举一反三1】用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
【答案】A
【解析】解：此题实际是求﹣的值．
故在计算器上依次按键转化为算式为﹣＝；
计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．
故选：A．
【举一反三2】．用计算器计算的近似值（精确到0.01），结果是（　　）
A.1.15 B.3.46 C.4.62 D.13.86
【答案】A
【解析】4÷2≈1.15．
故选：A．
【举一反三3】．用计算器计算的近似值（精确到0.01），结果是（　　）
A.1.15 B.3.46 C.4.62 D.13.86
【答案】A
【解析】4÷2≈1.15．
故选：A．
【举一反三4】用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
【答案】A
【解析】解：此题实际是求﹣的值．
故在计算器上依次按键转化为算式为﹣＝；
计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．
故选：A．
【题型20】利用算术平方根进行估算
【典型例题】已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A.1＜a＜2 B.2＜a＜3 C.3＜a＜4 D.4＜a＜＜5
【答案】B
【解析】∵42＝16，52＝25，
∴16＜23＜25，
∴，∴
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【举一反三1】下列关于的说法中，错误的是（　　）
A.是8的算术平方根 B.2＜＜3 C.= D.是无理数
【答案】C
【解析】A.是8的算术平方根，故正确；
B.∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，2＜＜3，故正确；
C.==，故错误；
D.是无理数，故正确，故选C．
【举一反三2】我们知道是一个无理数，那么－1的大小在（ ）
A.4和5之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.1和2之间
【答案】B
【解析】∵32＝9，42＝16，
∴9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴，∴
所以－1介于2和3之间，故选B．
【举一反三3】下列关于的说法中，错误的是（　　）
A.是8的算术平方根 B.2＜＜3 C.= D.是无理数
【答案】C
【解析】A.是8的算术平方根，故正确；
B.∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，2＜＜3，故正确；
C.==，故错误；
D.是无理数，故正确，故选C．
【举一反三4】无理数的值介于（　　）
A.2～3之间 B.3～4之间 C.4～5之间 D.5～6之间
【答案】B
【解析】∵32＝9，42＝16，
∴9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴无理数的值介于3～4之间，
故选：B．
【举一反三5】估计的值在哪两个整数之间_________
【答案】8和9
【解析】∵82＝64，92＝81，∴64＜76＜81，
∴8＜＜9，
故答案为8和9．
【举一反三6】已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则2x+y的平方根为　 　．
【答案】±4
【解析】∵52＝25，62＝36，∴25＜30＜36，
∴5＜＜6，
∵x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，
∴x＝5，y＝6，
∴2x+y＝16
∴5x+y的平方根，即为16的平方根是±4，
故答案为：±4
【举一反三7】估计的值在哪两个整数之间_________
【答案】8和9
【解析】∵82＝64，92＝81，∴64＜76＜81，
∴8＜＜9，
故答案为8和9．
【举一反三8】已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则2x+y的平方根为　 　．
【答案】±4
【解析】∵52＝25，62＝36，∴25＜30＜36，
∴5＜＜6，
∵x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，
∴x＝5，y＝6，
∴2x+y＝16
∴5x+y的平方根，即为16的平方根是±4，
故答案为：±4
【题型21】求一个非负数的算术平方根
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.64是8的算术平方根
B.9是的算术平方根
C.的算术平方根是
D.一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是1
【答案】C
【解析】A.64是8的算术平方根，64的算术平方根是8，故不正确
B.9是的算术平方根，，的算术平方根即为求9的算术平方根是3，故不正确
C.的算术平方根是，，的算术平方根即为求3的算术平方根是，本选项正确；
D.一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是1，一个数的算术平方根等于它本身是0，1，故不正确
故答案是C
【举一反三1】若|x|＝3，y是4的算术平方根，且x＞y，则x+y的值是（ ）
A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1
【答案】A
【解析】由于，所以.
【举一反三2】两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（　　）
A.x+1 B.x2+1 C. D.
【答案】D
【解析】∵一个自然数的算术平方根是x，
∴这个自然数是x2，
下一个自然数是x2+1，
∴下一个自然数的算术平方根是：．
故选：D．
【举一反三3】数25的算术平方根是 　．
【答案】5
【解析】25算术平方根是：5
故答案为：5
【举一反三4】已知y的算术平方根是5，2y－1的算术平方根是x－2，求x+2y的值．
【答案】解：因为y的算术平方根是5，所以y＝25，
所以2y－1＝2×25－1＝49的算术平方根是：7＝x－2，解得：x＝9，
当x＝9，y＝25时，x+2y＝59．
【举一反三5】当实数取何值时，下列各式有意义．
（1）；（2）；（3）．
【答案】解：(1)x为任意数，都有意义．
(2)则即时，原式有意义．
(3)所以只能当x=0时原式有意义．
【题型22】平方根与算术平方根的区别
【典型例题】下列运算正确的是（　　）
A. B. =﹣6 C.﹣=﹣5 D. =±3
【答案】C
【解析】，故错误；
B、=6，故错误；
C、-=﹣5，正确；
D、=3，故错误；
故选：C．
【举一反三1】下列化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A ，故本选项符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
【举一反三2】下列说法错误的是（ ）
A.0.4的算术平方根是0.02 B.是16的一个平方根 C.5是的算术平方根 D.的算术平方根是
【答案】A
【解析】A．∵，∴0.4的算术平方根不是0.02，故选项A符合题意；
B．-4是16的一个平方根，正确，不符合题意；
C．5是的算术平方根，正确，不符合题意；
D．的算术平方根是，正确，不符合题意．
【举一反三3】若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是_____．
【答案】
【解析】，所以a﹣b=9，9的平方根是±3．
【举一反三4】若，则x=________；若=4，则x=__________.
【答案】16 ±4
【举一反三5】已知x＝1﹣3a，y＝4a﹣3．
（1）如果x的算术平方根为4，求a的值；
（2）如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．
【答案】(1)16的算术平方根是4，即
(2)正数的两个平方根是互为相反数，即相加为0，解得，
所以这个正数为（1﹣3×2）2=25．
【题型23】立方根的应用
【典型例题】体积为5的正方体棱长为（　　）
A. B. C.± D.
【答案】B
【解析】体积为5的立方体棱长为．故选：B．
【举一反三1】高为4 cm且底面为正方形的长方体的体积为196 cm2，则该长方体的表面积为( )
A.200 cm2 B.210 cm2 C.220 cm2 D.294 cm2
【答案】B
【解析】根据题意得：2×＋4××4＝98＋112＝210(cm2)，则
该长方体的表面积为210cm2.
【举一反三2】一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（　　）倍．
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】：一个正方体的体积扩大为原来的27倍，它的棱长变为原来的倍，即=3倍．
故选：B．
【举一反三3】将棱长为a cm和b cm的两个正方体铁块熔化，制成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的棱长为________．(不计损耗)
【答案】
【解析】因为这个大正方体的体积为a3＋b3，所以这个大正方体的棱长为
【举一反三4】把一个长，宽，高分别为40 cm,8 cm,25 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则立方体铁块的棱长为________．
【答案】20 cm
【解析】立方体的体积是：40×25×8＝8000(cm3)，则立方体的棱长是＝20(cm)．
【举一反三5】已知长方体冰箱的容积为1 620立方分米，它的长，宽，高的比是5∶4∶3，则它的长、宽、高分别为多少分米？
【答案】解：由长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，设长为5k，宽为4k，高为3k，
根据题意得：60k3＝1 620，解得：k＝3，
则它的长、宽、高分别为15分米，12分米，9分米．
【举一反三6】随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
【答案】A
【解析】因为圆锥形土方的底面直径为100米，高度为50米．垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
所以，∴垃圾池的底面边长大约是米．故选：A
【题型24】平方根的综合应用
【典型例题】下列各数中一定有平方根的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，可能为负数，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，m>0,则可能为负数，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，可能为负数，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．故选：D．
【举一反三1】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A.4－5 B.3 C.4－ D.4＋
【答案】A
【解析】两个面积分别为16和5的正方形，
大正方形的边长为4，小正方形的长为，
阴影部分的长方形的宽为，长为，
阴影部分图形的面积和为：，故选：A．
【举一反三2】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为一个自然数的一个平方根是，所以平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【举一反三3】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A.4－5 B.3 C.4－ D.4＋
【答案】A
【解析】两个面积分别为16和5的正方形，
大正方形的边长为4，小正方形的长为，
阴影部分的长方形的宽为，长为，
阴影部分图形的面积和为：，故选：A．
【举一反三4】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为一个自然数的一个平方根是，所以平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【举一反三5】一个正方形鱼池的边长是xm，当边长增加2m后，正方形鱼池的面积变为400m2，求原正方形鱼池的边长．
【答案】解：由题意得，（x+2）2＝400．
∴x+2＝±20．
∴x＝18或x＝﹣22．
∵x＞0，
∴x＝18．
答：原正方形鱼池的边长是18 m．
【举一反三6】张华想用一块面积为4000cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
理由：正方形的边长为（cm），
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，由题意得，
3x 2x＝300，
解得x＝5或x＝﹣5（x>0,故舍去），
∴长方形的长为15cm，宽为10cm，
∵15＝，
∴张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【题型25】立方根与平方根的内容综合
【典型例题】下列说法中，不正确的是( )
A.2是(－2)2的算术平方根 B.±2是(－2)2的平方根 C.－2是(－2)2的算术平方根 D.－2是(－2)3的立方根
【答案】C
【解析】C．2是(－2)2＝4的算术平方根，错误．
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.3是9的立方根 B.3是的算术平方根 C.的平方根是2 D.8的平方根是±4
【答案】B
【解析】解：A．3是27的立方根，故错误；
B．（﹣3）2=9，3是9的算术平方根，故正确；
C．（﹣2）2 =4，4的平方根为±2，故错误；
D．8的平方根是，故错误．
故正确的是B．
【举一反三2】已知实数a，b满足（a﹣2）2+＝0，那么（b﹣a）的立方根是 　 　．
【答案】﹣2
【解析】∵（a﹣2）2+＝0，∴a﹣2＝0，b+6＝0，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴b﹣a＝﹣6﹣2＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三3】已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2，求的值．
【答案】因为某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2，
所以：a﹣3+2a+15＝0，．
所以a＝﹣4，b＝﹣8．
∴＝|﹣4+（﹣8）|﹣
＝12﹣3＝9．
【题型26】通过估算求无理数的值
【典型例题】通过估算，估计+1的值应在（　　）
A.2～3之间 B.3～4之间 C.4～5之间 D.5～6之间
【答案】D
【解析】∵42＝16，52＝25，
∴16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6．
故选：D．
【举一反三1】下列对的大小估计正确的是（ ）
A.在1~2之间 B.在2~3之间 C.在3~4之间 D.在5~6之间
【答案】C
【解析】∵32=9，42=16，∴9<10<16，∴3<<4，故选：C．
【举一反三2】下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（　　）
A. B. C. D.﹣π
【答案】C
【解析】A．因为﹣＜﹣1，所以﹣1﹣＜﹣1，故错误；
B．因为﹣＜﹣2，所以﹣＜﹣1，故错误；
C．﹣1＜﹣＜0，故正确；
D．因为﹣π＜﹣3，所以﹣π＜﹣1，故错误；
故选：C．
【举一反三3】估计+1的值（　　）
A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
【答案】D
【解析】：∵32＝9，42＝16，
∴9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴估计+1的值在4和5之间，
故选：D．
【题型27】算术平方根的估算
【典型例题】某中学要修建一个面积约为80平方米的正方形花圃，它的边长大约是（　　）
A.8.7米 B.8.8米 C.8.9米 D.9.0米
【答案】C
【解析】设正方形花圃的边长是x米，
由题意得：x2＝80，
∴x＝
因为，故排除D选项，
因为，
所以x＝≈8.9，
∴正方形花圃的边长约是8.9米．
故选：C．
【举一反三1】若a,b是两个连续自然数,且满足，则ab的算术平方根为( )
A. B. C.20 D.
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故，故，所以ab的算术平方根为，故选D
【举一反三2】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：，
因为
所以＜＜，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【举一反三3】已知，则（　　）
A.4.496 B.1.422 C.449.6 D.142.2
【答案】A
【解析】∵≈44.95，∴
故选：A．
【题型28】规律探究题
【典型例题】利用计算器，得0.2236， 0.7071， 2.236， 7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【答案】22.36．
【解析】由题意知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵2.236，
∴22.36，
故答案为：22.36．
【举一反三1】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若，＝4.11，则　　．
【答案】41.1．
【解析】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵16.9×100＝1690，
∴＝×10＝4.11×10＝41.1．
故答案为：41.1．
【举一反三2】若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是　　．
【答案】81.36．
【解析】被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
∵，
∴．
故答案为：81.36．
【题型29】根据立方根定义解方程
【典型例题】若x2＝9，y3＝－8，则x＋y＝________.
【答案】1或－5
【解析】因为x2＝9，y3＝－8，所以x＝±3，y＝－2.
当x＝3，y＝－2时，x＋y＝3＋(－2)＝1；
当x＝－3，y＝－2时，x＋y＝－3＋(－2)＝－5.
【举一反三1】如果(x－2)3＝8，则x＝________．
【答案】4
【解析】因为(x－2)3＝8，所以x－2＝2，x＝4.
【举一反三2】求下列各式中x的值：
（1）x2＝9；
（2）x3﹣3＝；
（3）（x﹣1）2＝64．
【答案】（1）x2＝9，
开平方得x＝，
∴x＝±3；
（2）x3﹣3＝，
移项得x3＝3+，
x3＝，
开立方得x＝，
∴x＝；
（3）（x﹣1）2＝64，
开平方得x﹣1＝±8，
x＝1±8，
∴x＝9或﹣7．
【举一反三3】求下列各式中x的值.
（1）2x2=10
（2）（x+3）3=﹣8
【答案】（1）等号两边同时除以2得：x2=5，
开平方得：x=±；
（2）开立方得：x+3=﹣2，
解得：x=﹣5．2.2平方根与立方根
【知识点1】算术平方根 2
【知识点2】非负数的性质：算术平方根 2
【知识点3】立方根 2
【知识点4】计算器—数的开方 3
【知识点5】平方根 4
【题型1】利用估算法求整数部分和小数部分 5
【题型2】利用立方根的定义求立方根 5
【题型3】利用立方根的定义求值 6
【题型4】对平方根的认识 6
【题型5】已知算术平方根求被开方数 7
【题型6】利用平方根解方程 7
【题型7】探究平方根的规律 8
【题型8】立方根的运算 9
【题型9】利用计算器开立方 9
【题型10】求一个数的平方根 10
【题型11】立方根与无理数 11
【题型12】利用平方根求值 11
【题型13】利用算术平方根的非负性解决问题 12
【题型14】利用平方根的意义求字母的值 12
【题型15】立方根的性质 12
【题型16】利用计算器求算术平方根 13
【题型17】估算无理数 14
【题型18】算术平方根的应用 15
【题型19】利用计算器解决估算问题 16
【题型20】利用算术平方根进行估算 16
【题型21】求一个非负数的算术平方根 17
【题型22】平方根与算术平方根的区别 17
【题型23】立方根的应用 18
【题型24】平方根的综合应用 19
【题型25】立方根与平方根的内容综合 19
【题型26】通过估算求无理数的值 20
【题型27】算术平方根的估算 20
【题型28】规律探究题 21
【题型29】根据立方根定义解方程 21
【知识点1】算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1.（2025春 海伦市期末）25的平方根是（　　）
A．5 B．-5 C．5或-5 D．
2.（2025 南京三模）化简的结果是（　　）
A． B．3 C．± D．±3
3.（2025春 秀屿区校级月考）36的算术平方根是（　　）
A．6 B．-6 C．±6 D．9
【知识点2】非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1.（2024春 昆明期中）若|x-1|+=0，则x2023+y2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2.（2024春 余干县校级期中）若，则x+2y=（　　）
A．0 B．2 C．3 D．-1
3.（2025春 清江浦区期中）若，则ab的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【知识点3】立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2024秋 叶县期末）下列说法正确的是（　　）
A．-27的立方根是3 B．=±4
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
2.（2025春 兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．立方根等于本身的数只有1
B．负数没有平方根，但有立方根
C．25的平方根为5
D．的立方根为3
3.（2025春 前郭县期末）64的立方根是（　　）
A．4 B．2 C．8 D．-4
【知识点4】计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
1.（2020秋 龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.（2014 镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　）
A． B． C． D．
【知识点5】平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1.（2025春 闽清县期末）若实数x没有平方根，则x可以是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2.（2025春 永清县期末）4的平方根是（　　）
A．2 B．-2 C．±2 D．以上都不对
【题型1】利用估算法求整数部分和小数部分
【典型例题】估算的值，它的整数部分是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b的值是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【举一反三2】设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（　　）
A.1 B.4 C.3 D.2
【举一反三3】阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：（1）的整数部分是____．（2）的小数部分是____．
【举一反三4】若，分别表示的整数部分和小数部分，则________．
【举一反三5】已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．
（1）求a，b的值；
（2）比较a+b的算术平方根与3的大小．
【举一反三6】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2
【题型2】利用立方根的定义求立方根
【典型例题】立方根等于﹣2的数是（　　）
A.±8 B.8 C.﹣8 D.不存在
【举一反三1】下列说法错误的是（ ）
A.-8的立方根是-2 B. C.的相反数是 D.3的平方根是
【举一反三2】　 　的立方根是的算术平方根是 　 　．
【举一反三3】求下列各数的立方根：
(1)-164；(2)－0.008；(3)512；(4)36.
【题型3】利用立方根的定义求值
【典型例题】下列命题中正确的是（　　　）
（1）0.027的立方根是0.3；（2）不可能是负数；（3）如果a是b的立方根，那么ab0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4)
【举一反三1】下列说法正确的是（　　）
A.±3都是27的立方根 B.的算术平方根是 C. D.81的算术平方根是﹣9
【举一反三2】 若（﹣m）2＝9，＝﹣2，则m+n的值是（　　）
A.﹣11 B.﹣5 C.﹣5或﹣11 D.±5或±11
【举一反三3】如果＝4，那么a的值是 　 　．
【举一反三4】根据图中呈现的运算关系，可知a＝　 　，b＝　 　．
【举一反三5】计算下列各式的值．
（1）±；
（2）；
（3）；
【举一反三6】已知x﹣2的平方根是±4，2x+y﹣1的算术平方根是5，则x﹣y﹣1的立方根是 　 　．
【题型4】对平方根的认识
【典型例题】下面关于平方根的说法中正确的是( )
A.任何数都有两个平方根
B.若a＞0，x2＝a，则x是a的一个平方根
C.2的平方根是4
D.若a＞0，x2＝a，则a是x的一个平方根
【举一反三1】下列说法中，正确的是( )
A.64的平方根是8 B.2的平方根是2 C.0没有平方根 D.16的平方根是4和－4
【举一反三2】﹣2的最小值是（ ）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A.－a2一定没有平方根 B.4是16的一个平方根 C.16的平方根是4 D.－9的平方根是±3
【举一反三4】下列说法中，正确的是( )
A.64的平方根是8 B.2的平方根是2 C.0没有平方根 D.16的平方根是4和－4
【题型5】已知算术平方根求被开方数
【典型例题】一个正 数的算术平方根为m，则比这个正 数大1的数的算术平方根是（　　）
A.m2+1 B. C. D.
【举一反三1】算术平方根是的数是（　　）
A.﹣2 B.﹣ C.2 D.
【举一反三2】如果=2,那么(x+3) =______.
【举一反三3】已知x=l-3a,如果x的算术平方根为4,求a的值;
【举一反三4】已知x=l-2a,已知x的算术平方根为3,求a的值;
【题型6】利用平方根解方程
【典型例题】已知(x-1)2=4，则x的值是( )
A.3 B.-1 C.3或-1 D.不确定.
【举一反三1】已知x＞0，且(x－1)2－324＝0，则x＋1的值为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【举一反三2】若(x－1)2－1＝0，则x的值为( )
A.±1 B.±2 C.－2或0 D.0或2
【举一反三3】若x2＝13，则x＝________.
【举一反三4】若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝________.
【举一反三5】解方程：
(1)；(2)（x﹣1）2﹣4＝0；(3)2（x﹣1）2﹣18＝0；(4)．
【题型7】探究平方根的规律
【典型例题】已知，，则（　　）
A.0.00607 B.0.0607 C.0.001921 D.0.01921
【举一反三1】已知，则（　　）
A.4.496 B.1.422 C.449.6 D.142.2
【举一反三2】已知，，则（ ）
A.0.15129 B.0.015129 C.0.0015129 D.1.5129
【举一反三3】已知，，则（　　）
A.0.00607 B.0.0607 C.0.001921 D.0.01921
【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【举一反三5】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【举一反三6】已知≈2.284，则≈　 　；若≈0.02284，则x≈　 ．
【题型8】立方根的运算
【典型例题】下列等式成立的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列计算正确的是（　　）
A.＝﹣3 B. C.＝±6 D.﹣
【举一反三2】计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列计算正确的是（　　）
A.＝﹣3 B. C.＝±6 D.﹣
【题型9】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　）
A.6 B.8 C.16 D.48
【举一反三1】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　）
A.6 B.8 C.16 D.48
【举一反三3】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果应为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】用计算器计算≈　　（结果精确到0.1）
【举一反三5】若利用计算器进行如下操作：
屏幕显示的结果为12，若现在进行如下操作：
，则屏幕显示的结果为　 　．
【举一反三6】若利用计算器进行如下操作：
屏幕显示的结果为12，若现在进行如下操作：
，则屏幕显示的结果为　 　．
【举一反三7】用计算器计算≈　　（结果精确到0.1）
【题型10】求一个数的平方根
【典型例题】的平方根是( )
A. 9 B. ±9 C. ±3 D. 3
【举一反三1】 9的平方根是( )
A.3 B.-3 C.土3 D.
【举一反三2】如果2a-1和5-a是一个数m的两个平方根，则a= ______，m= ______．
【举一反三3】若（a－1） ＋|b－9|＝0，求的平方根.
【举一反三4】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b的平方根．
【题型11】立方根与无理数
【典型例题】在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【举一反三1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2 D.2
【举一反三2】下列选项中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.0
【举一反三3】在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【举一反三4】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2 D.2
【题型12】利用平方根求值
【典型例题】若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为(　　)
A.－2 B.±5 C.5 D.－5
【举一反三1】已知(a－2)2＋|b－4|＝0，则ba的平方根是( )
A.. B.－2 C.±2 D.2
【举一反三2】若a是4的平方根，b＝－42，那么a＋b的值为________．
【举一反三3】已知x2＝14，|y|＝7.
(1)当y＞0时，求2x2＋y的值；
(2)当y＜0时，求2x2＋y的值．
【举一反三4】已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，求m＋3n的平方根．
【题型13】利用算术平方根的非负性解决问题
【典型例题】，则a+b＝（　　）
A.a+b＝﹣1 B.a+b＝1 C.a+b＝2 D.a+b＝3
【举一反三1】若|a﹣1|与互为相反数，则a+b＝（　　）
A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8
【举一反三2】则xy=
【举一反三3】代数式－5－的最大值为________，此时a与b的关系是__________．
【举一反三4】已知与互为相反数，求x+4y的算术平方根．
【题型14】利用平方根的意义求字母的值
【典型例题】a－1与3－2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是( )
A.4 B.-4 C.2 D.－2
【举一反三1】若一个正数的平方根是2a－1和－a＋2，则这个正数是( )
A.1 B.3 C.4 D.9
【举一反三2】一个正数a的平方根分别是m和﹣3m+1，则这个正数a为 　 　．
【举一反三3】已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【题型15】立方根的性质
【典型例题】若a3＝a，则a的值是（　　）
A.1 B.0或1 C.1或﹣1 D.0或1或﹣1
【举一反三1】下列说法中不正确的是( )
A.正数的平方根有两个，立方根也有两个 B.64的立方根是4 C.3是27的立方根 D.任何一个数都有立方根
【举一反三2】下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三3】下列结论正确的是（　　）
A.16的立方根是±4 B.是的立方根 C.立方根等于本身的数只有0和1 D.
【举一反三4】一个数的平方根与立方根都是它本身，这个数是( )
A.1 B.－1 C.0 D.±1，0
【题型16】利用计算器求算术平方根
【典型例题】如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．
2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．
3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．
若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（　　）
A. 0.01 B. 0.1 C. 10 D. 100
【举一反三1】用计算器求结果为（保留四个有效数字）（　　）
A.12.17 B.±1.868 C.1.868 D.﹣1.868
【举一反三2】如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．
2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．
3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．
若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（　　）
A. 0.01 B. 0.1 C. 10 D. 100
【举一反三3】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【举一反三4】利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【举一反三5】估算：≈　　．（精确到0.1）
【举一反三6】利用计算器，得≈0.2236，≈0.7071，≈2.236，≈7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【举一反三7】甲同学利用计算器探索．一个数x的平方，并将数据记录如表：
请根据表求出275.56的平方根是　　．
【题型17】估算无理数
【典型例题】已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在给定的﹣2，8，0，四个实数中，最小的是（　　）
A.﹣2 B.8 C.0 D.
【举一反三2】下列整数中，与无理数最接近的是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A.﹣π B.﹣ C. D.
【题型18】算术平方根的应用
【典型例题】面积为9的正方形的边长是（　　）
A.9的算术平方根 B.9的平方根 C.9的立方根 D.9开平方的结果
【举一反三1】如图是一个无理数筛选器的工作流程图．当输入的x为16时，y值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三3】如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．
【举一反三4】△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍，求AB的长．
【题型19】利用计算器解决估算问题
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【举一反三1】用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
【举一反三2】．用计算器计算的近似值（精确到0.01），结果是（　　）
A.1.15 B.3.46 C.4.62 D.13.86
【举一反三3】．用计算器计算的近似值（精确到0.01），结果是（　　）
A.1.15 B.3.46 C.4.62 D.13.86
【举一反三4】用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
【题型20】利用算术平方根进行估算
【典型例题】已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A.1＜a＜2 B.2＜a＜3 C.3＜a＜4 D.4＜a＜＜5
【举一反三1】下列关于的说法中，错误的是（　　）
A.是8的算术平方根 B.2＜＜3 C.= D.是无理数
【举一反三2】我们知道是一个无理数，那么－1的大小在（ ）
A.4和5之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.1和2之间
【举一反三3】下列关于的说法中，错误的是（　　）
A.是8的算术平方根 B.2＜＜3 C.= D.是无理数
【举一反三4】无理数的值介于（　　）
A.2～3之间 B.3～4之间 C.4～5之间 D.5～6之间
【举一反三5】估计的值在哪两个整数之间_________
【举一反三6】已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则2x+y的平方根为　 　．
【举一反三7】估计的值在哪两个整数之间_________
【举一反三8】已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则2x+y的平方根为　 　．
【题型21】求一个非负数的算术平方根
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.64是8的算术平方根
B.9是的算术平方根
C.的算术平方根是
D.一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是1
【举一反三1】若|x|＝3，y是4的算术平方根，且x＞y，则x+y的值是（ ）
A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1
【举一反三2】两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（　　）
A.x+1 B.x2+1 C. D.
【举一反三3】数25的算术平方根是 　．
【举一反三4】已知y的算术平方根是5，2y－1的算术平方根是x－2，求x+2y的值．
【举一反三5】当实数取何值时，下列各式有意义．
（1）；（2）；（3）．
【题型22】平方根与算术平方根的区别
【典型例题】下列运算正确的是（　　）
A. B. =﹣6 C.﹣=﹣5 D. =±3
【举一反三1】下列化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列说法错误的是（ ）
A.0.4的算术平方根是0.02 B.是16的一个平方根 C.5是的算术平方根 D.的算术平方根是
【举一反三3】若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是_____．
【举一反三4】若，则x=________；若=4，则x=__________.
【举一反三5】已知x＝1﹣3a，y＝4a﹣3．
（1）如果x的算术平方根为4，求a的值；
（2）如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．
【题型23】立方根的应用
【典型例题】体积为5的正方体棱长为（　　）
A. B. C.± D.
【举一反三1】高为4 cm且底面为正方形的长方体的体积为196 cm2，则该长方体的表面积为( )
A.200 cm2 B.210 cm2 C.220 cm2 D.294 cm2
【举一反三2】一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（　　）倍．
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】将棱长为a cm和b cm的两个正方体铁块熔化，制成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的棱长为________．(不计损耗)
【举一反三4】把一个长，宽，高分别为40 cm,8 cm,25 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则立方体铁块的棱长为________．
【举一反三5】已知长方体冰箱的容积为1 620立方分米，它的长，宽，高的比是5∶4∶3，则它的长、宽、高分别为多少分米？
【举一反三6】随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
【题型24】平方根的综合应用
【典型例题】下列各数中一定有平方根的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A.4－5 B.3 C.4－ D.4＋
【举一反三2】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A.4－5 B.3 C.4－ D.4＋
【举一反三4】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】一个正方形鱼池的边长是xm，当边长增加2m后，正方形鱼池的面积变为400m2，求原正方形鱼池的边长．
【举一反三6】张华想用一块面积为4000cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【题型25】立方根与平方根的内容综合
【典型例题】下列说法中，不正确的是( )
A.2是(－2)2的算术平方根 B.±2是(－2)2的平方根 C.－2是(－2)2的算术平方根 D.－2是(－2)3的立方根
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.3是9的立方根 B.3是的算术平方根 C.的平方根是2 D.8的平方根是±4
【举一反三2】已知实数a，b满足（a﹣2）2+＝0，那么（b﹣a）的立方根是 　 　．
【举一反三3】已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2，求的值．
【题型26】通过估算求无理数的值
【典型例题】通过估算，估计+1的值应在（　　）
A.2～3之间 B.3～4之间 C.4～5之间 D.5～6之间
【举一反三1】下列对的大小估计正确的是（ ）
A.在1~2之间 B.在2~3之间 C.在3~4之间 D.在5~6之间
【举一反三2】下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（　　）
A. B. C. D.﹣π
【举一反三3】估计+1的值（　　）
A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
【题型27】算术平方根的估算
【典型例题】某中学要修建一个面积约为80平方米的正方形花圃，它的边长大约是（　　）
A.8.7米 B.8.8米 C.8.9米 D.9.0米
【举一反三1】若a,b是两个连续自然数,且满足，则ab的算术平方根为( )
A. B. C.20 D.
【举一反三2】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三3】已知，则（　　）
A.4.496 B.1.422 C.449.6 D.142.2
【题型28】规律探究题
【典型例题】利用计算器，得0.2236， 0.7071， 2.236， 7.071，按此规律，可得的值约为　　．
【举一反三1】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若，＝4.11，则　　．
【举一反三2】若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是　　．
【题型29】根据立方根定义解方程
【典型例题】若x2＝9，y3＝－8，则x＋y＝________.
【举一反三1】如果(x－2)3＝8，则x＝________．
【举一反三2】求下列各式中x的值：
（1）x2＝9；
（2）x3﹣3＝；
（3）（x﹣1）2＝64．
【举一反三3】求下列各式中x的值.
（1）2x2=10
（2）（x+3）3=﹣8

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