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2024-2025学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动.下列折纸作品中不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.小明做了一个长方形框架，加上了如图所示的木条，他这样做的原理是（　　）
A. 两点确定一条直线
B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等
C. 三角形具有稳定性
D. 两点之间线段最短
3.下列运算正确的是（　　）
A. （a+b）2=a2+b2 B. 2a3 3a2=6a5 C. a4-a3=a D. a8÷a2=a4
4.如图，一副三角板的直角顶点A重合，等腰三角板的腰AD⊥BC于D，则∠α=（　　）
A. 40° B. 45° C. 60° D. 75°
5.下列各式与相等的是（　　）
A. B. C. D.
6.在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，如图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（C的对应点是C′），分析他们折纸情况说法正确的是（　　）
A. 小睿折出的是△ABC中BC边上的中线 B. 小睿折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C. 小志折出的是△ABC中BC边上的中线 D. 小芳折出的是△ABC中BC边上的高
7.A地到B地的铁路长270千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由A地到B地的行驶时间缩短了2小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“8字图”，如图所示的图形，则∠A+∠C的度数为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
9.已知a,b满足a2+b2-4a+2b+5=0，则ab的值是（　　）
A. B. 1 C. 2 D. -1
10.在△ABC中，AC=6，中线AD=7，则AB的长度不可能是（　　）
A. 7 B. 9 C. 17 D. 19
11.已知，，，…，（n为正整数，且t≠0，-1），则用含t的式子a1 a2 a3…a2024的结果为（　　）
A. t B. -t C. t+1 D. -（1+t）
12.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N.若AB=3，BC=7，则AM的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.因式分解：4x2-1= ．
14.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形边数为 .
15.已知a、b为实数，且ab=1，设，，则M、N的大小关系是M______N．
16.如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE=4EC，点D是BC的中点，且S△ABC=15，则S1-S2=______．
17.如图，在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别在边AC，BC上，BD与AE交于点F，过点B作BG⊥线段AE于点G.若△ABD≌△CAE，则∠FBG的度数为______.
18.已知a,b为实数，且满足ab＞0，a+b-2=0，当a-b为整数时，ab的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数.
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简，再求值：÷（a-），其中a=2，b=1.
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）.
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标：A1______，B1______，C1______；
（3）求出△ABC的面积.
22.(本小题12分)
如图，△ABC中，AC=BC，∠A=45°，∠ACD为△ABC的一个外角.
（1）请按以下要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），
①作∠ACD的平分线CM；
②作AC的垂直平分线，与AC交于点N，与CM交于点F，与AB交于点E；
（2）求证：FN=EN.
23.(本小题12分)
某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种滑动变阻器用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种滑动变阻器的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种滑动变阻器单价贵6元.
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
24.(本小题12分)
定义：任意两个数a,b,按规则c=（a+1）（b+1）运算得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“和积数”.
（1）若a=4，b=-2，则a,b的“和积数”c=______；
（2）若，a2+b2=8，求a,b的“和积数”c；
（3）已知a=x+1，且a,b的“和积数”c=x3+4x2+5x+2，若x≠-2，求b的值（用含x的式子表示）.
25.(本小题14分)
如图，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E，∠ABD=∠ADB.
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，若AB=AF；
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH的值最小时，写出此时GH与CH的数量关系，并说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】（2x+1）（2x-1）
14.【答案】8
15.【答案】=
16.【答案】4.5
17.【答案】30°
18.【答案】1或
19.【答案】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-70°-30°
=80°．
∵AE平分∠BAC，
∴．
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B
=90°-70°
=20°．
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=40°-20°
=20°．
20.【答案】解：原式=÷= =，
当a=2，b=1时，原式=1．
21.【答案】；
（1，5），（1，0），（4，3）；
7.5
22.【答案】如图：CM、EF即为所求；
∵ AC=BC，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠ACD=∠A+∠B=90°，
∵CM平分∠ACD，
∴，
∴∠ACM=∠A，
∵EF垂直平分AC，
∴AN=CN，
在△AEN和△CFN中，
，
∴△AEN≌△CFN（ASA），
∴EN=FN
23.【答案】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，
根据题意得：=×1.5，
解得：x=48，
经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意．
∴x+6=54，
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100-m）个，
根据题意得：48m+54（100-m）≤5000，
解得：m≥66，
答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器．
24.【答案】-5；
c的值为或；
b=x2+2x
25.【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AB=AD，∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
∴A在BD的垂直平分上，∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴C在BD的垂直平分上，
∴AC垂直平分BD；
（2）①证明：设∠F=α，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠F=α，
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC=∠F+∠AFB=2α，
由（1）AC⊥BD，CB=CD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCE，
∴∠F=∠BCE=α，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCE+∠BAC=90°，即α+2α=90°，
则α=30°，
∴∠DCB=2∠BCE=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形；
②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH，
理由：
延长AD至A′，使DA′=DA，
∵CD⊥AD，
∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH，
∴AH=A′H，
∴AH+GH=A′H+GH=A′G，此时GH+AH为最小，
由①知：∠DCE=30°，即∠GCH=30°，
∵A′G⊥AC即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH中，∠GCH=30°，
∴CH=2GH，
∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH．
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